Observationes Domini Petri de Fermat

Ad quæstionem IX Libri V.

^{Invenire tres numeros ut uniuscujusque quadratus, summa trium sive addita sive detracta, faciat quadratum.}

Ex supradictis patet posse nos construere generaliter problema invenire quotcumque numeros ut unius cuiusque quadratus summa omnium sive additâ sive detractâ quadratum faciat[27]. Hanc quæstionem forte Bachetus ignoravit Diophantum quippè promovisset ut suprà 31. quæstione lib. 4. et alijs in locis si quæstionis huius solutionem detexisset.

Перевод:

Из сказанного выше явствует, что мы можем решить более общую задачу:

Найти сколько угодно чисел таких, чтобы квадрат каждого из них, увеличенный или уменьшенный на сумму всех этих чисел, составлял бы квадрат.

Баше, вероятно, не знал решения этой задачи; иначе он обобщил бы вопрос Диофанта, как он это сделал для IV₃₁ и других.

OBSERVATIO D. P. F XXV (p. 224)

Ad commentarium in quæstionem XII Libri V.

^{QUÆSTIO DIOPHANTI. — Unitatem dividere in duas partes, et utrique segmento datum numerum adjicere et facere quadratum. Oportet autem datum neque imparem esse * neque huius vero quadrati latus est}

^851/1551

^{Per quod si dividas singula latera trianguli mox reperti, habebis triangulumquæsitum}

^{12061328235/2047166451. 4492913004/2047166451. 4653/851,}

^{duplum ejus N. unitas majorem habere quadrantem quam est numerus, quo ipsum metitur primus numerus *[28].}

^{BACHETUS… Reliqua verò verba «neque duplum ejus, etc.» adeo vitiata sunt ut nullam commode recipere possint explicationem. Non dubito quidem Diophantum respexisse ad aliquam numerorum non vulgarem proprietatem, qua definitur quis numerus par deligendus sit, ut duplum ejus unitate auctum sit quadratus numerus vel compositus ex duobus quadratis. Sed quid sibi velit in tanta verborum caligine divinare non possum; id oneris relinquam illi qui in codicem aliquem emendatiorem incideint … Sane quod ait Xilander, verba illa corrupta videri velle, debere eum qui datur esse duplum numeri primi, id utique futile est et nulli fundamento nixum, quodque ipsa statim experientia refelli potest: nam, si datus sit 10, is est duplus numeri primi 5 et tamen quæstioni solvendæ minime reperitur idoneus, nam oporteret dividere in duos quadratos numerum 21. Quod quidem impossibile est, ut reor, quum is neque quadratus sit, neque suapte natura compositus ex duobus quadratis.}

Numerus 21. non potest dividi in duos quadratos in fractis. Hoc autem facillime demonstrare possumus, et generalius omnis numerus cuius triens non habet trientem non potest dividi in duos quadratos neque in integris neque in fractis.

Перевод:

Число 21 не может быть разложено на сумму двух дробных квадратов. Мы можем это легко доказать. И вообще, никакое число, третья часть которого не имеет трети, не может быть разложено на два квадрата ни целых, ни дробных.

OBSERVATIO D. P. F XXVI (p. 225)

Ad idem commentarium.