Observationes Domini Petri de Fermat

Возьмем три числа, удовлетворяющих задаче, так что каждое из них, сложенное с данным числом, составит квадрат, как это и было предложено. Пусть четвертым искомым будет x + 1. Получим тройное равенство, решение которого легко находится с помощью нашего метода. Смотри замечание к задаче VI₂₄ [в настоящем издании VI₂₂ — И. Б.].

Этим решается и вопрос, предложенный Баше к задаче III₁₂ [у нас III₁₀ — И. Б.], и помимо того, что метод более общий, он имеет еще то преимущество перед методом Баше, что при нашем решении три первых числа, сложенные с данным, составляют квадрат.

Однако мне до сих пор неизвестно, можно ли решить задачу при условии, что и четвертое число, сложенное с данным, составляет квадрат. Это надо будет еще исследовать.

OBSERVATIO D. P. F XXIII (p. 220)

Ad quæstionem VIII Libri V.

^{Invenire tria triangula rectangula quorum area sint æquales.}

Num vero inveniri possunt 4. aut etiam plura in infinitum triangula æqualis areæ nihil videtur obstare quo minus quæstio sit possibilis. inquiratur itaque ulterius.

Nos hoc problema construximus imò et data qualibet trianguli areâ infinita triangula eiusdem aræ exhibemus v. g. [verbi gratia] data areâ 6. trianguli 3. 4. 5. en aliud triangulum eiusdem areæ ⁷/₁₀ ¹²⁰/₇ ¹²⁰¹/₇₀. aut si placet eadem denominatio ⁴⁹/₇₀ ¹²⁰⁰/₇₀ ¹²⁰¹/₇₀.

Perpetua et constans methodus hæc est. Exponatur quodlibet triangulum cuius hypotenusa Z. basis B. perpendiculum D. ab eo sic formatur aliud triangulum dissimile eiusdem aræ, nempe formetur abs Z. quadrato et B in D. bis, et planoplana lateribus similia applicentur Z in B. quadratum bis — Z in D. quadratum bis hoc novum triangulŭ habebit aream æqualem aræ præcedentis, ad hoc secundo eâdem methodo formetur tertium, à tertio quartum, à quarto quintum et fient triangula in infinitum dissimilia eiusdem areæ et ne dubites plura tribus dari posse inventis tribus Diophanti 40. 42. 58. 24. 70. 74. et 15. 112. 113. quartum adiungimus dissimile eiusdem tamen areæ. ^1412881/₁₁₈₉ hypote.[nusa] ^1412880/₁₁₈₉ basis. ¹⁶⁸¹/₁₁₈₉ perpendic.[ulum]

Et omnibus in eumdem denominatorem ductis fient 4 triangula in integris æqualis areæ quæ sequuntur.

Primum. 47560. 49938. 68962.

Secundum. 28536. 83230. 87986.

Tertium. 17835. 133168. 334357.

Quartum. 1681. 1412880. 1412881

Eâdemque methodo invenientur triangula eiusdem arete in infinitum et quastio sequens ultra Diophanteos limites progredietur.

En etiam alia methodo[25] triangulum cuius aræ facit sextuplum quadrati sicut 3. 4. 5.

Nempe 2896804. 7216803. 7776485.

Перевод:

Но можно ли найти четыре или даже большее число, растущее до бесконечности, треугольников равной площади? Ничто как будто не препятствует тому, чтобы эта задача была возможной; поэтому ее надо глубже исследовать.

Мы разрешили задачу, более того, если дана площадь произвольного треугольника, мы построим бесконечно много других, имеющих ту же площадь: пусть, например, дана площадь 6 треугольника 3, 4, 5, то другим треугольником той же площади будет

7/10, 120/7, 1201/70,

или, если желательно иметь один и тот же знаменатель,

49/70, 1200/70, 1201/70.

Общий и всегда применимый метод таков. Пусть дан произвольный треугольник с гипотенузой Z, основанием B и высотой D. Из него можно вывести другой треугольник, не подобный ему, но одной с ним площади; образуем его из квадрата Z и удвоенного В на D и плоскоплоскостные стороны разделим на удвоенное Z на В квадрат — удвоенное Z на D квадрат[26]. Такой новый треугольник будет иметь площадь, равную площади предыдущего.

Отправляясь от этого второго, таким же методом образуем третий, из третьего четвертый, из четвертого пятый и получим бесконечно много неподобных треугольников одинаковой площади.

Чтобы не было сомнения в возможности построить более трех треугольников, к найденным Диофантом

40, 42, 58; 24, 70, 74; 15, 112, 113

прибавим четвертый, не подобный им и имеющий ту же площадь:

гипотенуза ^1412881/₁₁₈₉, основание ^1412880/₁₁₈₉, высота ¹⁶⁸¹/₁₁₈₉.

Если привести эти числа к одному знаменателю, то получим четыре треугольника в целых числах, которые отвечают одной и той же площади:

Первый 47560, 49938, 68962,

Второй 28536, 83230, 87986,

Третий 17835, 133168, 134357,

Четвертый 1681, 1412880, 1412881.

Можно найти тем же методом бесконечно много треугольников одинаковой площади и тем самым распространить задачу Диофанта за пределы, которые он наметил.

Вот еще треугольник, полученный другим методом, площадь которого составляет ушестеренный квадрат, как и у 3, 4, 5, а именно:

2896804, 7216803, 7776485.

OBSERVATIO D. P. F XXIV (p. 221)