Observationes Domini Petri de Fermat

Мы присоединим решение этого вопроса к уже рассмотренному [см. задачу V₃ — И. Б.]. Пусть взято неопределенное решение данной задачи Диофанта так, что свободные члены для X₁ и X₂, увеличенные на единицу, являются квадратами. Пусть, например, три неопределенных числа будут: первое ¹⁶⁹/₅₁₈₄x + ¹³/₃₆, второе x, третье ⁷²²⁵/₅₁₈₄x + ⁸⁵/₃₆.

Ясно, что они удовлетворяют данной задаче неопределенным образом, сверх того, нужно, чтобы каждое из этих чисел, увеличенное на единицу, давало квадрат, т. е. возникает тройное равенство, которое легко решить нашим методом, так как свободный член каждого из выражений, после прибавления единицы, становится квадратом.

OBSERVATIO D. P. F XVI (p. 161)

Ad quæstionem XXI Libri IV.

^{Invenire quatuor numeros, ut qui fit ex binorum mutua multiplicalione, adscita unitate, faciat quadratum}[14]^.

Inveniantur tres numeri quilibet ut qui fit binorum mutuâ multiplicatione adscita unitate faciat quadratum, v. g. [verbi gratia] sint illi numeri 3. 1. 8. quæratur iam quartus eâ conditione ut qui fit sub tribus inventis sigillatim in quartum adscita unitate sit quadratus, ponatur inveniendus esse 1N. ergo 3N + 1. item 1N + 1. item 8N + 1. æquantur quadrato et oritur triplicata æqualitas cuius solutio inventioni nostraæ debetur. Vide quæ adnotavimus ad quæstionem 24. libri 6.

Перевод:

Следует найти три числа такие, что их произведение по два, увеличенное на единицу, образует квадрат; пусть, например, это числа 3, 1, 8.

Теперь следует искать четвертое такое, что его произве дение на каждое из трех найденных будет квадратом после увеличения на единицу. Пусть это число будет x, тогда

3x + 1, x + 1, 8x + 1

равны квадратам, и возникает тройное равенство, которое решается найденным нами методом. Смотри мое замечание к задаче VI₂₄ [в нашем издании VI₂₂ — И. Б.].

OBSERVATIO D. P. F XVII (p. 165)

Ad quæstionem XXIII Libri IV.

^{Invenire tres numeros, ut solidus sub ipsis contentus adscito quolibet ipsorum faciat quadratum.}

Non solum absque lemmate Diophanti[15], sed etiam absque duplicata æqualitate[16], solvetur quæstio. Ponatur solidum sub tribus 1.q.—2.N. primus numerorum sit unitas secundus 2.N. Ita namque duobus partibus propositionis satisfit, pro tertio dividatur solidum sub tribus, 1.Q — 2N. per rectangulum sub primo et secundo, quod est 2N. orietur ex hac divisione tertius, ¹/₂N — 1 quo addito ad solidurn sub tribus fit 1Q — ³/₂N — 1 quod æquari debet quadrato. Oportet autem valorem numeri maiorem esse binario propter positiones iam factas. Æquetur igitur quadrato cuius latus 1N — aliquo unitatum numero binario maiori. Omnia constabunt.

Перевод:

Задача может быть решена не только без леммы Диофанта[17], но и без двойного равенства[18]. Положим:

тело из трех чисел....... x² — 2x,

первое число.............. 1,

второе число.............. 2x.

И два условия задачи будут удовлетворены.

Чтобы найти третье, разделим тело из трех, x² — 2x, на прямоугольник на первом и втором, 2x; из этого деления получится третье ¹/₂x² — 1, которое, сложенное с телом из трех, дает x² — ³/₂ — 1, что должно равняться квадрату.

Кроме того, в силу сделанных предположений нужно, чтобы значение x превосходило 2; поэтому приравняем квадрату, сторона которого равна x минус произвольное число, большее двух. Остальное известно.

OBSERVATIO D. P. F XVIII (p. 180)

Ad commentarium in quæstionem XXXI Libri IV.

^{QUÆSTIO: Invenire quatuor numeros quadratos, quorum summa, cum summa laterum conjuncta, numerum imperatum faciat}[19]^.

Imo propositionem pulcherrimam et maxime generalem nos primi deteximus. Nempe omnem numerum vel esse triangulum vel ex duobus aut tribus triangulis compositum esse quadratum vel ex duobus aut tribus aut quatuor quadratis compositum esse pentagonum, vel ex duobus tribus quatuor aut quinque pentagonis compositum et sic deinceps in infinitum in hexagonis heptagonis et polygonis quibuslibet enuntianda videlicet pro numero angulorum generali et mirabili propositione; eius autem demonstrationem quæ ex multis varijs et abstrusissimis numerorum mysterijs derivatur hic apponere non licet, opus enim et librum integrum huic operi destinare decrevimus et Arithmeticen hac in parte ultra veteres et notos terminos mirum in modum promovere.

Перевод: