Observationes Domini Petri de Fermat

Либо греческий текст испорчен, либо Диофант не изложил способа решения. Баше полагал, что Диофанту помог случай, однако мы не можем этого допустить, так как мы думаем, что метод Диофанта нетрудно отыскать.

Требуется найти квадрат, больший двух и меньший трех, такой, что по вычитании его из трех получается число, которое представляется суммой трех кубов.

Возьмем в качестве стороны искомого квадрата некоторое число X минус 1, например X — 1. Если отнять от трех квадрат этого, то останется

2 — X² + 2X,

которое нужно представить в виде суммы трех кубов так, чтобы получилось равенство между двумя членами, имеющими последующие степени.

Это можно сделать бесконечным числом способов: пусть сторона одного из кубов будет 1 — ¹/₃X, другого же 1 + X (чтобы в сумме этих двух кубов член первого порядка было бы 2X); сторона третьего куба должна состоять из одного члена, содержащего X, который к тому же надо снабдить знаком минус, чтобы значение X оставалось в намеченных пределах; нетрудно выбрать коэффициент этого члена, содержащего X, так, чтобы решение действительно лежало внутри пределов, о которых шла речь.

После того, как это сделано, ясно, что наш первый куб будет меньше единицы, как это было желательно; напротив того, второй больше, а третий снабжен знаком минус; нужно найти два куба, сумма которых равнялась бы разности второго и третьего; мы придем, таким образом, как и Диофант, ко второй операции.

„Из «Поризмов» мы имеем, — говорит он, — что разность всяких двух кубов равна сумме двух кубов“.

Здесь Баше вновь находится в затруднении, и, поскольку «Поризмов» Диофанта у него нет, он считает, что задача возможна только при некоторых ограничениях; он учит, как разложить на два куба разность двух кубов, но только при условии, что больший из заданных кубов превосходит удвоенный меньший. Он откровенно признается, что не знает, как можно в общем случае разложить на два куба разность двух произвольных кубов. Мы изложили выше по поводу задачи IV₂ общее решение этого вопроса, а также других, относящихся к тому же предмету.

OBSERVATIO D. P. F XXIX (p. 249)

Ad quæstionem XXIV Libri V.