Observationes Domini Petri de Fermat

Sit igitur inventum triangulum 3. 4. 5. cuius hæc est proprietas ut qui fit mutuo ductu laterum circa rectum adscito solido sub maiore laterum circa rectum intervallo eorumdem, et areâ contento faciat quadratum[53]. Ab eo deducendum aliud eiusdem proprietatis, sit maius ex lateribus circa rectum trianguli quætsiti 4. minus vero 3 + 1N. Rectangulum sub lateribus circa rectum adscito solido sub maiore laterum circa rectum intervallo eorundem et areâ contento, facit 36 — 12N. — 8Q. quae ideo debent æquari quadrato. Cum autem latera 4 et 3 + 1N. sint latera circa rectum trianguli rectanguli, debent etiam eorum quadrata iuncta æquari quadrato. Quadrata illa iuncta faciunt 25 + 6N + 1Q. quæ idcircò etiam æquanda quadrato. Et oritur duplicata æqualitas, nam 36 — 12. N — 8Q. et etiam 25 + 6N + 1Q. debent æquari quadrato. Eius æqualitatis duplicatae solutio est in promptu.

Перевод:

Диофант дает только один вид треугольников, удовлетворяющих задаче; однако наш метод доставляет бесконечно много треугольников различных видов, которые могут быть выведены последовательно из решения Диофанта.

Итак, пусть уже найден треугольник (3, 4, 5), который удовлетворяет условию, „чтобы произведение сторон при прямом угле, сложенное с произведением большего катета, разности этих катетов и площади, давало квадрат“. Из него надо вывести другой треугольник, обладающий тем же свойством.

Пусть наибольшая из сторон при прямом угле искомого треугольника будет 4, а наименьшая 3 + X. Произведение сторон при прямом угле, к которому прибавленно произведение наибольшей стороны при прямом угле на разность этих сторон и площадь треугольника, составит 36 — 12X — 8X², что надо приравнять квадрату. Кроме того, стороны 4 и и 3 + X, будучи сторонами при прямом угле прямоугольного треугольника, должны давать сумму квадратов, равную квадрату; но сумма их квадратов составляет 25 + 6X + X², что также надо приравнять квадрату. И получается двойное равенство, именно:

36 — 12X — 8X² и 25 + 6X + X²

должны равняться квадратам. Решение его найти легко.

OBSERVATIO D. P. F XL (p. 302)

Ad quæstionem XIV Libri VI.

^{Invenire triangulum rectangulum ut numerus areæ, multatus alterutro laterum circa rectum, faciat quadratum.}

Ex nostrâ Methodo solvetur sequens quæstio alioquin difficillima. Invenire triangulum rectangulum ut alterutrum laterum circa rectum multatum areâ facial quadratum.

Перевод:

Нашим методом решается следующий вопрос, который иначе был бы очень труден:

Найти прямоугольный треугольник, у которого каждая из двух сторон при прямом угле, уменьшенная на площадь, составляет квадрат.

OBSERVATIO D. P. F XLI (p. 307)

Ad quæstiones XV et XVII Libri VI.

^{13. Invenire triangulum rectangulum ut numerus areæ, tam hypotenusa quam altero laterum circa rectum detracto, faciat quadratum.}

^{17. Invenire triangulum rectangulum ut numerus areæ, tam hypotenusæ quam alterius laterum circa rectum numero adscito, facial quadratum.}

Tentetur beneficio nostræ methodi sequens quæstio alioquin difficillima. Invenire triangulum rectangulum ut tam hypotenusa quam unum ex lateribus detractâ areâ faciant quadratum.

Перевод:

Благодаря нашему методу можно попробовать разрешить следующий вопрос, который без этого был бы очень труден:

Найти такой прямоугольный треугольник, что при вычитании площади из гипотенузы или одной из сторон при прямом угле получается квадрат.

OBSERVATIO D. P. F XLII (p. 320)

Ad quæstionem XIX Libri VI.

^{Invenire triangulum rectangulum ut areæ numerus cum hypotenusæ numero faciat quadratum, at circumferentiæ numerus sit cubus…}

^{…Oportet itaque invenire quadratum aliquem, qui, binario adjecto, cubum faciat… est igitur quadrati latus 5, cubi vero 3; ipse quadratus 95, cubus 27…}