Очерки античного символизма и мифологии

Симплиций сообщает о более поздней стадии платоновского учения об идеях и числах, не зафиксированной в его диалогах. Если это известие и не может считаться вполне основательным, то во всяком случае Аристотель тоже намекает на два периода в учении о числах у Платона. Так, по Аристотелю, сначала было просто учение об идеях, не об идеях–числах[528] Кроме того, он прямо пишет о том, что новое учение о материи было изложено Платоном в «т. н. незаписанных учениях» [529]. Так или иначе, но приходится считаться с тем изложением платоновского учения о числах, которое мы находим у Аристотеля.

2. «Идеальное» и «математическое» число, а) Прежде всего, по Аристотелю, Платон строго различал идеальные числа и математические числа. Это — давно знакомая нам вполне платоновская идея. Интересна только весьма существенная деталь, которую выдвигает здесь Аристотель в целях характеристики этой антитезы. Именно, «математические» числа — совершенно однородны, счислимы и складываемы, «идеальные» же числа обладают той или другой степенью родства и счислимости, будучи не все и неодинаково однородны и счислимы. «В математическом [числе], — пишет он, — ни одна единица никак не отличается от другой» [530] Что Же касается идеальных чисел, то в Met. XIII б он различает три типа построения таких иде альных чисел. Во–первых, можно представить, что все они решительно различны по своему «эйдосу», так что нельзя себе представить ровно никакого их последовательного ряда; они абсолютно несчислимы [531] Во–вторых, идеальные числа могут быть построены так, что все они, оставаясь абсолютно несчислимыми и несоизмеримыми взаимно, — счислимы, однако, и соизмеримы сами внутри себя. Так, двойка несчислима с единицей, тройка — с двойкой, четверка — с тройкой и т. д.; но внутри каждого такого идеального числа все единицы — однородны между собою, счислимы и соизмеряемы [532] Конечно, и такое число, по Аристотелю, совершенно не похоже на математическое число. «Математическое [число] счисляется [так, что] за «одним» [следует] «два», [через прибавление] к предыдущему «одному» другого «одного», и «три» — [через прибавление] к этим «двум» еще «одного»; и так же прочее число. Это же [идеальное] число [счисляется так, что] за «одним» (следуют] другие [особые] «два», без первого «одного», и тройка — без двойки и прочее число — одинаково» [533] Наконец, в–третьих, идеальные числа могут представлять собою смесь первого типа со вторым и с математическим числом, т. е. одни числа могут быть тут абсолютно несчислимы друг с другом, другие же — в том или другом отношении счислимы[534] Это, стало быть, соединение абсолютной иесчислимости, прерывной счислимости и непрерывной счислимости. Но как бы ни строить идеальные числа, они, по изложению Аристотеля, всегда мыслятся Платоном как нес клад ываемые, несоизмеримые идеи — в том или другом отношении и в той или другой степени [535]И это — чрезвычайно важное учение. Этим Платон хотел, по–видимому, сказать, что идеальным числам свойственна своя специфическая качественность, что они не суть количественные конструкции, что операции над ними суть операции не числового, но общелогического порядка.

Не будем удивляться этому учению Платона. Во–первых, идеальная качественность числа вытекает сама собой из проанализированных выше диалектических выкладок «Парменида» и «Филеба». «Эйдетическое» число тем ведь и отличается от арифметического, что оно мыслится как некая фигурность, т. с. как специально числовая качественность. Во–вторых, совершенно нельзя утверждать того, что и наша математика лишена учений о качественности чисел. Разве не существует тут «сложения» и «вычитания», которые приходится понимать в «особом» смысле? Разве «математические» отношения между «конечными» и «бесконечными» величинами не уничтожают в корне обычную практику над конечными величинами? Разве, наконец, такие «числа», как, например, комплексное, не есть ли в сущности чистое качество, совершенно никак не пред–ставимое в чисто количественном виде? И т. д. и т. д. Стало быть, есть большой смысл, во–первых, учить об этих «идеальных» числах, а во–вторых, отличать их от «математических», вернее, от элементарно–арифметических признаком «несчислимости», «идеальности» в смысле индивидуальной смысловой качественности. Эти числа, по Платону, идеальны, т. е. суть идеи. А это значит, что им присуща не сводимая ни на что иное, каждый раз совершенно особая индивидуальная качественность, причем последняя, конечно, не имеет ничего общего ни с какой вещественной качественностью, но есть идеальная, мыслимая и мысленная, умная, смысловая качественность.

Итак, необходимо отдельно давать теорию «идеальных» и «математических» чисел. По изображению Аристотеля, Платон так и поступал.