Читаем Опционы. Полный курс для профессионалов полностью

Опционы. Полный курс для профессионалов

u = 1 /d = e^{? x ?dT}.

Зная значения u и d, можно построить дерево, описывающее возможную динамику цены акции на период действия опциона.

В нулевой вершине стоит цена акции в начальный момент времени – S, i-й ярус дерева соответствует моменту времени i x dT и содержит i + 1 возможную цену акции в этот момент S x u^j x d^{i – j}, j = 0… Для вычисления цены опциона осуществляется процедура «спуска» по дереву от последнего яруса к нулевому, т. е. от момента исполнения к начальному моменту времени.

В вершинах последнего яруса записаны цены акции в момент исполнения опциона, из которых легко получить стоимость опциона в момент исполнения по формуле max[(S(T) – K)]. Зная цену опциона на (s + 1) – м ярусе, можно найти его цену на s-м ярусе, т. е. в предыдущий момент времени. Продемонстрируем это на примере.

Пусть уже вычислена цена опциона в точках Suu и Sud – X и Y соответственно. В точке Su у покупателя опциона есть две возможности: либо немедленно исполнить опцион и получить прибыль A = max(Su – K,0), либо не исполнять его, и тогда через время dT с вероятностью p он будет стоить X и с вероятностью (1 – p) – Y, а значит, дисконтированная на текущий момент времени средняя ожидаемая стоимость есть B=e^–rxdT x (p x X + (1 – p) x Y). Поскольку покупатель опциона стремится максимизировать свою прибыль, он, разумеется, выберет наиболее выгодный из этих вариантов, поэтому цена опциона в точке Su будет равна max(A,B).

Двигаясь от яруса к ярусу по этому алгоритму, мы в конечном итоге найдем интересующую нас цену опциона в начальный момент времени.

На практике для установления точной цены достаточно 19–21 итераций (ветвей дерева). Дальнейшие итерации незначительно уточняют цену, но замедляют расчеты.

2. Опционы на валюту

В случае опционов на валюту роль непрерывно начисляемых дивидендов играет ставка доходности в валюте – rf. Формула для цены опциона на валюту получается из формулы цены опциона колл на акцию с дивидендами (см. приложение I) простой заменой q на rf.

Стоимость опциона пут на валюту равна:

P₂ = K x e^–rT x N(–d2) – S₂ x e^–rfT x N(–d1).

Здесь S₂ – текущий курс валюты, а величины d1 и d2 определяются следующим образом:

В теории хеджирования с использованием опционов на валюту, в дополнение к имеющимся «грекам» рассматривается производная цены опциона по ставке доходности в валюте – rf. Этот параметр называется Phi и вычисляется по следующей формуле:

Phi = –T x e^-rfT x S₂ x N(d1) – для опциона колл.

Phi = –T x e^-rfT x S₂ x N(–d1) – для опциона пут.

3. Опционы на фьючерсы

До настоящего времени мы говорили о цене опционов на спот. При оценке опциона на фьючерс используется только безрисковая ставка, которая играет роль ставки доходности. Формула для цены имеет следующий вид:

Стоимость опциона пут на фьючерс равна

P₃ = e^–rT x [K x N(–d2) – F x N(–d1)].

Здесь F – текущая цена фьючерса, а величины d1 и d2 определяются следующим образом:

4. Сравнительная таблица формул опционов на акции, облигации, драгоценные металлы, нефть, базовые металлы

В этой табл.:

K – цена исполнения опциона;

S, S₁ – цена акции;

S₂ – курс валюты;

F – цена фьючерса на акцию, облигацию, нефть, металлы;

G – цена золота;

r – безрисковая ставка доходности;

q – непрерывная ставка дивидендов;