Ошибаться полезно. Почему несовершенство мозга является нашим преимуществом

И это подводит нас к интересному вопросу: существуют ли вообще числа независимо от людей или они являются чисто человеческим изобретением для упорядочения окружающего мира? Будет ли существовать математика, если не останется никого, кто мог бы ею заниматься? Что произойдет с числом 3, если никто не будет о нем думать. Мне не хотелось бы поднимать в этой книге экзистенциалистские философские вопросы, но с точки зрения неврологии имеются некоторые свидетельства в пользу того, что числа – это нечто большее, чем искусственно созданные человеком вспомогательные средства для описания мира. Похоже, что они являются для нас такими же реальными предметами, как и другие окружающие вещи.

Появляясь на свет, мы не умеем считать, во всяком случае в классическом смысле этого слова. Некоторые беременные женщины приучают своих детей к музыке еще до рождения, но математические концепции приходится осваивать шаг за шагом. И все же у нас имеются необходимые анатомические предпосылки, позволяющие работать с числами. Так сказать, базовое математическое оснащение для появления цифрового мышления. Похоже, что мы располагаем тремя основными механизмами обращения с числами.

Базовое математическое оснащение

Один из этих механизмов носит научное название «субитизация», что означает «моментальная оценка». Поясним на примере: сколько точек вы здесь видите?

Никаких проблем не возникает: четыре. А сколько теперь?

Уже труднее. Мы можем навскидку оценить лишь ограниченное количество объектов в поле зрения. Причем мы не подсчитываем их, а просто «видим». И это уже неплохо для начала, если мы хотим хорошо ориентироваться в мире чисел.

Второй основополагающий механизм счета – это сравнение чисел. В отличие от уже упомянутой субитизации, здесь мы рассматриваем не конкретное количество, а сопоставляем величины. Четыре больше, чем два. Десять больше, чем пять. Если внимательно проанализировать эти сравнения, можно найти еще одну причину, по которой мы так плохо справляемся с числами. Представьте себе, что вы должны расположить на числовом луче различные числа, скажем 1, 2, 3, 5, 10 и 50. Тот, кто был внимателен на уроках, сможет вспомнить, как выглядит числовой луч:

123_5____10__________________________________50

Но если попросить изобразить такой луч второклассника или взрослого представителя какого-нибудь дикого племени, где умеют считать только до пяти, то получится что-то вроде этого:

1__2___3____5__________10_____________________50

Другими словами, чем больше числа, тем менее точным становится сравнение. Дело в том, что наше понятие о числах изначально не линейное, а логарифмическое. Для нас решающее значение имеют не абсолютные величины, а различия между числами и их сравнения. Представьте себе ситуацию: вы решили вечерком съесть пару чипсов. Положив в рот одну штуку, вы задаете себе вопрос: «А могу ли я позволить себе еще одну? Ведь это же будет вдвое больше». Таким образом, чтобы съесть вторую штуку, приходится преодолевать некоторые угрызения совести. Но где-то на тридцать девятом плотину прорывает и уже не имеет никакого значения, съедите вы сорок чипсов или сорок один. Все равно получается много.

Этот феномен известен в науке как закон Вебера. Субъективные ощущения от органов чувств выражаются логарифмической зависимостью. Поясню на практическом примере. Чтобы разница в весе между двумя предметами была ощутима, она должна составлять примерно 2 процента. Представьте, что вы поднимаете корзинку с покупками весом 7 кг. Если вы положите туда еще стограммовую плитку шоколада, то вряд ли заметите разницу, потому что для этого она должна весить не менее 140 г. Закон Вебера очень непрактичен с точки зрения тех, кто хочет похудеть. Если вы весите 120 кг, то эффект похудения можно ощутить, только сбросив 2,4 кг. А если ваш вес изначально составлял 50 кг, то вы ощутите разницу, всего лишь сходив утром в туалет.

Закон Вебера применим и к пониманию чисел, но только взятых по отдельности (см. пример с чипсами). Как только они оказываются рядом и образуют некие закономерности, мы начинаем лучше оценивать и сопоставлять их. Так, нам достаточно просто сопоставить одно множество с другим без подсчета количества единиц в каждом из них. Если вы разложите перед собой два различных вида чипсов: красноватые со вкусом перца и желтоватые со вкусом лука, – вам трудно будет навскидку сказать, сколько именно чипсов с перцем вы видите, и сравнить их количество с луковыми чипсами. Но если вы раскрошите чипсы и разложите крошки ровным слоем, то вам будет несложно определить, какой вид занимает большую площадь. Любой, у кого дома есть маленькие дети, знает, как этот метод выглядит на практике.