Остров знаний

Возможно, 2 + 2 = 4 – это универсальное выражение (для любого вида, который знает числа и умеет их складывать), но от этого оно не становится менее человеческим. Если другие мыслящие инопланетяне смогут получить тот же результат (несомненно, выраженный в других символах), это скажет нам больше о том, как работает сознание, чем об универсальных истинах Природы. Тот факт, что 2 + 12 = 14 или e^ix = cos x + i sin х, определяется не Вселенной, а человеческим разумом, который может использовать подобные выражения для приближения к физической реальности и/или описания ее элементов, от стада зебр до сложных экспоненциальных и тригонометрических функций, применимых бесчисленным количеством способов во всех науках или используемых в абстрактных мысленных конструкциях.

Спор о математике как об открытии или изобретении, равно как и дискуссия о природе физической реальности, указывает на важность человеческого мозга как чудесного и редкого явления вселенского масштаба, а не на существование некой ускользающей от нас истины в непостижимом абстрактном измерении. Самое важное находится не извне, не над нами, не в руках Бога, а в небольшом клубке нейронов, скрытом под нашей черепной коробкой.

Глава 30. Неполнота в которой кратко рассматриваются неожиданные, но важные открытия Геделя и Тьюринга

Открытия, сделанные физиками в начале ХХ века, в большинстве своем были направлены против общепринятого (и ньютоновского по своей сути) представления о том, что Природа полностью рациональна и независима от вмешательства или наблюдений человека. Сначала специальная теория относительности Эйнштейна указала на то, что для интерпретации значения местоположения и времени необходимо учитывать точку зрения наблюдателя. Затем принцип неопределенности Гейзенберга связал присутствие наблюдателя и нашу интерпретацию физической реальности в одно нераздельное целое. Новая физика, отвергая все классические законы, вернула человеческий фактор в науку, которая когда-то гордилась своей строгостью и независимостью от субъективного мнения. Как мы уже знаем, у этого утверждения имеются некоторые нюансы, так как теория относительности Эйнштейна строится на абсолютных величинах (то есть законы Природы и скорость света являются одинаковыми для всех наблюдателей), а неопределенности Гейзенберга исчезают по мере перехода от атомных и молекулярных величин к более крупным объектам нашей повседневной жизни. Тем не менее происходило что-то новое – изменялись наши способы мышления о физике и о роли, которую в ней играет человеческий фактор.

Удивительные и блестящие исследования Курта Геделя привнесли такой же человеческий подход в математику. В 1930 году в возрасте 23 лет этот австрийский логик представил две связанные между собой теоремы о неполноте, в которых, по сути, доказал, что математика (или, точнее, любая формальная система, в которой возможна теория чисел) не является автономной, так как включает в себя по меньшей мере одно утверждение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Как следствие, в своей второй теореме Гедель выводит, что непротиворечивость системы невозможно доказать, находясь внутри нее. Иными словами, великая мечта о создании замкнутой восходящей структуры всей математики, которую вынашивали величайшие ученые всех времен, рухнула. Разумеется, в несовершенную логическую систему можно было бы добавить дополнительные аксиомы, чтобы доказать ее непротиворечивость, и в некоторых случаях математики действительно так поступали. Но теорема о неполноте сделала свое дело. После Геделя дух идеальной красоты, определявший платоновский реализм на протяжении многих тысяч лет, был утрачен. Река еще не обрушила дамбу окончательно, но трещины на ней уже были заметны.

Гедель нацелился на монументальный трехтомный труд «Принципы математики», написанный Бертраном Расселом и Альфредом Нортом Уайтхедом в 1910–1913 годах, в котором авторы пытались свести всю математику к чистой логике. Их работа была воплощением идеальной рациональности. Рассел и Уайтхед ставили своей целью показать, что все математическое мышление можно свести к манипуляции символами, регулируемой набором правил. Гедель заменил символы числами, показав, что символьные модели в «Принципах» можно представить в качестве моделей цифровых (обработки массивов численных данных). Учитывая, что работа Рассела и Уайтхеда была автореферентной (замыкалась сама на себя, как мифический змей Уроборос), Гедель легко показал, что весь этот проект был построен на проблемах, поднимавшихся еще в античных парадоксах, в частности в знаменитом парадоксе лжеца: «Это утверждение ложно».