От абака к цифровой революции

Как ритмомахия помогала разобраться в этом нагромождении отношений между числами? Очевидно, путем их использования в увлекательной игре. Игра велась на доске шириной 8 и длиной 16 клеток (длина доски могла отличаться). Каждому игроку выдавались 24 фишки с числами, которые были кратными, сверхчастными и сверхчастичными для данных чисел. Игроки использовали математические операции, чтобы снимать с доски фишки противника. Например, если фишка с номером 4 располагалась в 9 клетках от фишки с номером 36, то фишка с номером 36 оказывалась взятой (так как 36 = 4·9). Если фишки с номерами 4 и 8 располагались по бокам от фишки с номером 12, последняя оказывалась взятой (так как 12 = 4 + 8).

Кроме того, в условиях окончания игры фигурировали три средние величины, введенные Боэцием. Например, если одному из игроков удавалось расположить подряд фишки с номерами 2, 4, 6, при этом между ними располагалась фишка противника, это означало конец партии. Почему? Потому что 4 — среднее арифметическое 2 и 6.

* * *

СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ В АРИФМЕТИКЕ БОЭЦИЯ

«Древним было хорошо известно, что существуют три средние величины: арифметическая, геометрическая и гармоническая. Они же рассматривались в науке Пифагора, Платона и Аристотеля.

<…> Назовем величину средней арифметической, когда разности между тремя членами или любым другим их числом одинаковы. <…> Теперь объясним среднюю геометрическую, которую лучше было бы назвать средней пропорциональной, так как в ней рассматриваются пропорции.

Поскольку здесь всегда рассматриваются равные пропорции… например 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, или тройная пропорция 1, 3, 9, 27, 81, равно как можно установить четверное, пятерное или любое другое отношение. <…> Среди других средних гармоническая не строится ни с помощью разностей, ни с помощью равных пропорций. Вместо этого средняя гармоническая есть та, в которой составляется наибольшее с наименьшим (частное) и сравнивается (или приравнивается) разность наибольшего со средним и разница среднего с наименьшим. Например, 4, 5, 6 или 2, 3, 6. 6 превосходит 4 на свою третью часть (то есть на 2), 4 превосходит 3 на свою четвертую часть (на 1), 6 превосходит 3 на свою половину (на 3), 3 превосходит 2 на свою третью часть (на единицу)».

* * *

Гравюра 1554 года, на которой изображена доска для ритмомахии.

* * *