От абака к цифровой революции

ОБНОВЛЕННЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ БОЭЦИЯ

Определения, данные Боэцием среднему арифметическому, среднему геометрическому и среднему гармоническому, можно выразить в современной нотации. Рассмотрим три величины: а, b и с. Предположим, что а — наибольшая величина, b — средняя, с — меньшая, то есть выполняется неравенство а > b > с. Можно предположить, что b — среднее арифметическое, среднее геометрическое или среднее гармоническое двух других величин. Среднее арифметическое обладает следующим свойством: разность между соседними членами неизменна, то есть а — Ь = Ь — с. Это выполняется в случае, когда Ь = (а + с)/2, что нетрудно вывести из предыдущего равенства.

Среднее геометрическое обладает следующим свойством: соотношение соседних членов неизменно, то есть а/b = Ь/с. Это равенство подразумевает, что ас = bb, следовательно, b = √(а·с).

Среднее гармоническое, согласно Боэцию, обладает следующим свойством: соотношение между наибольшей и наименьшей величиной равно соотношению разности большей и средней величины и разности средней и меньшей величины. На языке математики это определение выглядит так: а/с = (а — b)/(b — с). Из этого равенства можно получить следующее равенство: а(Ь — с) = с(а — Ь), откуда следует ab — ас = са — сЬ, или, что аналогично, ab + сЬ = 2ас. Выразим b из последнего равенства и получим b = 2ас/(а + с). Эта формула позволяет получить среднее гармоническое а и с, хотя чаще используется следующее выражение: b = 2/(1/а +1/с). Это выражение можно получить из предыдущего делением числителя и знаменателя на ас.

* * *

Раймунд Луллий

В своем труде Ars Magna et Ultima («Великое искусство») Раймунд Луллий представил свою логическую систему доказательства истинности. Целью ее создания было объективно доказать мусульманам превосходство христианской религии. Иными словами, он создал логику для доказательства своих рассуждений. Одним из его открытий являются так называемые круги: на этих кругах были записаны понятия, при вращении кругов образовывались различные комбинации, то есть высказывания, которые Луллий считал истинными.

Пример круга из «Великого искусства» Раймунда Луллия.

Новизна логики Луллия состояла в ее направленности на изучение свойств понятий. Следовательно, ее можно считать синтетической логикой, в то время как в ту эпоху доминировала аналитическая логика. Эта новая точка зрения заинтересовала таких мыслителей, как Джордано Бруно (1548–1600) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716), которые позднее использовали философские идеи Луллия. Лейбниц применил их в своем выдающемся трактате «Рассуждения о комбинаторном искусстве», опубликованном в 1666 году. По сути, логика Луллия сохранилась до наших дней, так как именно на ней основаны логические системы, лежащие в основе многочисленных современных вычислительных машин.

Миниатюра из книги «Великое искусство» Раймунда Луллия.

* * *