От абака к цифровой революции

Гравюра из «Жемчужины философии» (1508) Грегора Рейша, на которой изображены Боэций и Пифагор, состязающиеся в вычислениях. За ними сверху наблюдает Арифметика. Обратите внимание: Боэций (слева) использует арабские цифры, Пифагор производит расчеты с помощью абака.

Доказательством важности математических текстов по арифметике в торговле служит тот факт, что важнейший труд Евклида «Начала» был отпечатан лишь в 1482 году на латинском языке под названием Elementa Geometriae. «Арифметика» Боэция была отпечатана в 1488 году. Первой печатной книгой по алгебре стала «Сумма арифметики, геометрии, дробей, пропорций и пропорциональности» (La primera algebra impresa fue la Summa de Arithmetica, Geometrica, Geometria, Proportion! et Proportionalita) Луки Пачоли, опубликованная в Венеции в 1494 году.

В течение всего XVI века печаталось множество текстов с пояснениями и комментариями к этой книге. Они пользовались большой популярностью, так как труд Пачоли был достаточно сложен для понимания. Несмотря на всю важность этих работ, большинство книг того времени было посвящено арифметике в торговле.

Портрет математика Луки Пачоли кисти Якопо де Варбари, выполненный около 1496 года.

* * *

ЗАДАЧА ПО АРИФМЕТИКЕ В ТОРГОВЛЕ

Манускрипт под номером 102 (A. III 27), хранящийся в муниципальной библиотеке итальянского города Сиены, — один из четырех манускриптов, посвященных арифметике, опубликованных до 1500 года, которые сохранились до наших дней. В нем упоминается следующая задача: «Если хочешь знать о человеке, сколько денег в его кармане, поступай так: предположи, что у него 4, скажи ему удвоить их число, и получишь 8, затем добавить 5 и получишь 13, затем умножить всё на 5 и получишь 65, добавить 10 и получишь 75, затем умножить на 10 и получишь 750. Теперь вычти 350 и получишь 400, что соответствует 4, и каждая сотня соответствует числу, посему 400 будет 4».

* * *

Простые и десятичные дроби

Когда арабские цифры попали на Запад, изначально с их помощью записывались только целые числа. Дробные числа по-прежнему записывались в шестидесятеричной системе счисления, как в древней Вавилонии. Кушьяр ибн Лаббан в своей книге «О началах индийской арифметики» обозначает дробные числа как градусы: 1/60 он называет минутой (daqa’iq), 1/(602) — секундой (thawani), 1/(603) — терцией (thawalith), 1/(604) — квартой (rawabf) и так далее. Уже тогда они обозначались теми же символами, которые используются и сейчас: градусы обозначались знаком °, минуты — ', секунды — ", терции — "' так далее.

Лишь в XVI веке Симон Стевин написал трактат, в котором подчеркивалась важность десятичной нотации, в том числе для записи дробей. Он обратился к властям и начал кампанию по распространению этой системы. До Стевина десятичная нотация уже применялась для записи дробей, однако использовалась не повсеместно. Персидский математик и астроном Гияс ад-Дин ал-Каши (1380–1429), один из руководителей Самаркандской обсерватории, использовал эту нотацию за 100 лет до Стевина в своих трудах по тригонометрии и при вычислении числа 71. Ал-Каши также был известен так называемый треугольник Паскаля (таблица Тартальи).

* * *