Открытие без границ. Бесконечность в математике

Они движутся так, что в каждый момент времени одно из тел В находится напротив одного из тел А:

Рассмотрим теперь третий ряд тел C₁, C₂, C₃ и C₄, также равных предыдущим, которые движутся влево так, что в каждый момент времени каждое из них находится напротив одного из тел А:

Парадокс возникает, когда мы одновременно рассматриваем оба движения: для тел В и для тел С. Если исходное положение тел таково, как представлено на рисунке:

то в следующий момент времени («тик» часов) тела будут расположены так:

Но это означает, что C₁ сместилось на расстояние, равное величине двух тел В. Следовательно, выбранную нами единицу времени можно разделить пополам, что противоречит исходному утверждению о её неделимости.

Аристотель обрушился на этот парадокс с критикой, показав, что Зенон считал одинаковыми тела в состоянии покоя и тела в движении. Если скорость движущегося тела неизменна, то скорость, с которой оно движется относительно другого, находящегося в состоянии покоя, нельзя считать равной скорости, с которой тело движется относительно другого движущегося тела. Однако возражение Аристотеля тривиально, сложно поверить, чтобы Зенон упустил его из вида.

В других трактовках считается, что этот парадокс, подобно предыдущим, посвящён делению времени и пространства на бесконечное число частей. Таким образом, чтобы одно тело могло пройти мимо другого, движущегося тела, сначала оно должно пройти расстояние, равное половине длины этого тела, находящегося в состоянии покоя, и т. д.

В любом случае кажется достаточно правдоподобным, что Зенон вновь хотел поспорить с пифагорейцами, указав на противоречие, касающееся неделимости геометрических фигур.

* * *

ЗЕНОН. ЗАБЫТЫЙ ГЕНИЙ

Зенон Элейский (ок. 490–425 гг. до н. э.) был древнегреческим философом и принадлежал к элейской школе, основанной Парменидом. Основным источником знаний о Зеноне является диалог Платона «Парменид». Можно утверждать, что он принадлежал к философскому течению, которое называется монизмом. В монизме считается, что всё сущее неизменно и никакие изменения невозможны. По мнению некоторых философов, Зенон не получил того признания, которого заслуживал. Бертран Расселл отчасти исправил ситуацию, сказав: «В этом капризном мире нет ничего более капризного, чем посмертная слава. Одним из тех, кто больше всего пострадал от несправедливости потомков, был Зенон Элейский. Он сформулировал четыре неизмеримо тонких и глубоких аргумента, но невежественные философы последующих времён сочли его лишь искусным престидижитатором, а его аргументы — простыми софизмами. После двух тысяч лет забвения этим софизмам вновь было уделено внимание, и они стали основой возрождения математики…» («Начала математики», книга 1,1903)

На этой фреске из Королевской библиотеки монастыря Эскориал изображён Зенон Элейский, показывающий ученикам врата Истины (Veritas) и Лжи (Falsitas).

* * *

Критика Аристотеля в отношении первого парадокса позволила заложить основы очень важного понятия, касающегося бесконечности, и, по мнению многих авторов, является важнейшим вкладом в изучение бесконечности.

Во-первых, обратите внимание, что слово «бесконечность» допускает две трактовки: как нечто бесконечно протяжённое и как нечто бесконечно делимое. В первом парадоксе смешиваются обе трактовки, так как согласно ему ограниченное пространство, которое делится на бесконечное множество частей, не может быть пройдено за конечное время. Проводится следующее различие: в непрерывном пространстве, в котором движется тело, существует бесконечное число половин расстояний, но потенциально, а не в действительности. В этом заключается важность вклада Аристотеля, так как начиная с этого момента возникли две различные трактовки бесконечности, в определённом смысле несовместимые: так называемая потенциальная и актуальная бесконечность, о которых мы говорили в предыдущей главе.