Открытие без границ. Бесконечность в математике

КВАДРАТУРА СТОЛА

Задача о квадратуре обычно представляет сложность даже для очень простых фигур, например треугольника, пятиугольника или шестиугольника, и некоторые решения названы по именам их авторов. Например, чтобы решить задачу о квадратуре для равностороннего треугольника, нужно разделить его (разумеется, с помощью циркуля и линейки) следующим образом.

Из этих частей можно составить квадрат той же площади, что и треугольник.

Мати Грюнберг использовал это решение и создал стол-трансформер, который, в зависимости от ситуации, может иметь форму квадрата или треугольника.

Иррациональные числа

Без чисел 1, 2, 3, …, которые мы обычно используем при счёте, во время измерений не обойтись. Если мы возьмём, например, сравнительно ровный кусок дерева и нанесём на него метки, соответствующие каждому числу так, что они будут находиться на равном расстоянии друг от друга, то сможем измерять расстояния. Расстояние между двумя соседними отметками будет единицей измерения.

Допустим, что наша единица измерения задаётся отрезком ОА, и мы хотим измерить длину доски В. Наложим единичный отрезок на доску и подсчитаем, сколько раз он укладывается на ней. Допустим, что отрезок укладывается на доске ровно пять раз. В этом случае говорят, что длина доски равна 5 единицам. Нам повезло: результат оказался целым числом.

Но могло случиться и так, что длина составила бы 4 с половиной единицы. Ничего страшного — это означает, что нужно всего лишь разделить нашу единицу измерения пополам. На языке математики это записывается дробью вида 1/2. Именно так изготавливаются линейки, и чем больше на них делений, тем выше точность измерений.

Очевидно, что точность измерений в этом случае будет иметь предел по чисто физическим причинам, связанным с шириной отметок и нашей способностью различить их. В школьных линейках расстояние между соседними отметками обычно равняется одному миллиметру, то есть единица измерения (сантиметр) делится на десять частей.

Прежде чем продолжить объяснения, напомним читателю некоторые определения элементарной геометрии. Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из углов прямой, то есть составляет 90°. Например, треугольник АВС, изображённый на следующей странице, прямоугольный, так как угол В равен 90°. Стороны, образующие прямой угол, называются катетами, третья сторона — гипотенузой. Как следствие, гипотенуза всегда — самая длинная сторона прямоугольного треугольника, и лежит она против прямого угла.

Знаменитая теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Таким образом, выполняется равенство:

С его помощью можно найти длину гипотенузы по известным катетам. Например, в треугольнике

выполняется равенство

Таким образом, длина гипотенузы равна 5.

Теперь предположим, что мы выбрали единицу измерения на прямой с началом отсчёта в точке О так, что ОС = 1. Построим отрезок, перпендикулярный этой прямой, проходящий через точку С, такой что длина CD также будет равна 1. Как можно видеть на следующем рисунке, мы получили прямоугольный треугольник OCD с гипотенузой OD.

Применив теорему Пифагора, получим

Таким образом,  откуда OD = √2.

Если мы с помощью циркуля отложим значение OD на прямой, то не сможем присвоить отрезку ОС никакого значения. В этом смысле отрезок ОС является несоизмеримым.

Это означает, что √2 нельзя представить в виде дроби, что приводит нас к строгому определению рационального числа: говорят, что произвольное число N является рациональным, когда его можно представить в виде частного двух целых.

По этому определению, рациональными являются 2/3, 8/5, 2773/12452. Логично, что целые числа также являются рациональными, так как любое целое можно представить в виде частного двух других: например 8 можно представить как 16/2.

В некоторых неканонических изданиях «Начал» Евклида можно встретить доказательство того, что √2 не является рациональным (доказательство, изложенное на языке современной математики, приведено в приложении).