Открытие без границ. Бесконечность в математике

Современная физика предлагает модель, в которой этот мысленный эксперимент совершенно реален. Когда Планк сформулировал основы квантовой механики, он предложил сценарий, весьма похожий на только что описанный. В модели атома, принятой в современной физике, электрон, который вращается по орбите с энергетическим уровнем r', может совершить квантовый скачок и перейти на иной энергетический уровень r. Более того, этот переход совершается не последовательно, а скачкообразно. Можно сказать, проведя параллель с нашим примером, что электрон непрерывно накапливает энергию аналогично тому, как непрерывно уменьшается величина угла α. В какой-то конкретный момент электрон (наша точка Q) переходит с одного энергетического уровня на другой. В этом смысле можно признать правоту Зенона, пусть это и приведёт к противоречию. Не существует движения в том смысле, как мы его понимаем, которое перемещает электрон с одной орбиты на другую. Существуют два различных физических состояния, в которых потенциальная и актуальная бесконечность удивительным и загадочным образом сосуществуют в пространстве и времени.

Глава 3. Встречи на бесконечности

Первыми, кто «увидел» бесконечность в пространстве, были не философы и не геометры, а художники Возрождения. Свободные от строгих ограничений церкви, благодаря знакомству с математическими трудами древних греков они открыли новый путь в математике, где бесконечность перестала быть чем-то запретным, носящим на себе печать абсолютного зла.

Трёхмерное изображение

Когда говорят о Возрождении, мы сразу представляем себе многочисленные произведения живописи, скульптуры, архитектуры, новые технологии, но практически ничего, что имело бы отношение к математике. Причина в том, что важнейшей задачей для представителей этого периода было восстановление уже известного.

В Средневековье труды греков и арабов, в которых описывались фундаментальные основы алгебры и геометрии, были преданы забвению (или задвинуты на дальние полки библиотек немногочисленных монастырей). Однако именно в геометрии служители искусства эпохи Возрождения, особенно живописцы, добились выдающихся результатов. Важную роль сыграло геометрическое воплощение бесконечности.

Как правило, представители Возрождения владели различными знаниями, относившимися не только к искусству, но и к науке. Их работы часто оплачивали меценаты или короли, которые заказывали картины, скульптуры, музыкальные произведения, здания или сокровищницы для хранения королевских ценностей и даже подробные исследования, посвящённые траектории снарядов.

Художники Возрождения унаследовали от прошлой эпохи живопись религиозного характера, в которой существовали жёстко определённые правила относительно использования цветов и изображения фигур. Так, святые должны были изображаться на позолоченном фоне как символ того, что они находятся на небесах.

Большинство цветов, равно как и расположение и размеры персонажей, имели особое значение, связанное с местом персонажей в иерархии. Однако наиболее важным было то, что все герои изображались в очевидно двумерном пространстве: они были плоскими, а стиль живописи напоминал древнеегипетский. Безусловно, это делалось умышленно и имело символическое значение: определённых святых нельзя было изображать реалистично, так как они противопоставлялись всему земному.

* * *

ДУХ ВОЗРОЖДЕНИЯ

Леонардо да Винчи (1452–1519), ярчайший пример гения эпохи Возрождения, в «Трактате о живописи» размышляет о понятии непрерывности в его философском смысле не только потому, что оно принадлежит исключительно к философии, но и потому, что используется во множестве других дисциплин: «Если ты скажешь, что немеханическими науками являются науки умозрительные, то я скажу, что живопись умозрительна и что как музыка и геометрия рассматривают пропорции непрерывных величин и как арифметика — прерывных, так и она в своей перспективе рассматривает все непрерывные количества и качества отношений теней и света и расстояния».

* * *