Открытие без границ

Представим себе прямую, произвольную точку Р на этой прямой и ряд кривых, касающихся прямой в точке Р, кривизна которых постепенно уменьшается, и они все больше приближаются к прямой. Очевидно, что сколько бы кривых, касающихся прямой в точке Р, мы ни рисовали, ни одна из них не будет совпадать с исходной прямой. Можно представить, что это все-таки произошло, и бесконечные кривые в итоге совпали с прямой. Потенциально это возможно, но «актуально» (здесь мы делаем отсылку к актуальной бесконечности) мы не располагаем каким-либо четким методом для реализации этого. Вновь возникает вопрос о переходе к бесконечности как к чему-то конкретному и вызванные им радикальные изменения. Кривые, которые все больше приближаются к прямой, обладают общим свойством: для всех них можно определить величину, которая будет числовой характеристикой их кривизны. В пределе, когда кривые превращаются в прямую, эта величина исчезает (можно говорить о кривых нулевой кривизны) — в этом и заключается тот самый радикальный переход, о котором мы говорим. Именно по этой причине бесконечность ассоциируется с загадкой творения. В какой-то, недоступный нам, момент времени в определенной точке пространства происходит преобразование, и одна из кривых превращается в прямую. Мы говорим «одна из кривых» не в буквальном смысле, поскольку не существует «последней кривой», так как в этом случае понятие бесконечно малого исчезает и непрерывный процесс сменяется дискретным переходом от последней кривой к прямой. Этот акт творения оказал огромное влияние на научную мысль ввиду сопутствовавших ему философских и религиозных коннотаций и определил границы запретной темы как в философии, так и в религии. Возможно, было бы разумнее говорить о мутации, а не о творении, что ближе к восточной философии, где религиозная мысль теснее связана с философской. В этом смысле более уместно и, возможно, более точно было бы говорить, что кривая мутирует в прямую.

Евдокс

Евдокс (ок. 408–355 гг. до н. э.) наряду сАрхимедом (ок. 287–212 гг. до н. э.), Пифагором (570–500 гг. до н. э.) и Евклидом (ок. 325–265 гг. до н. э.) был одним из важнейших представителей греческой математики. В области концептуальной математики он, вне всяких сомнений, намного превосходил всех остальных.

В те времена греческая математика все еще переживала удар, вызванный открытием иррациональных чисел, несоизмеримых с целыми. Ясного критерия для сравнения величин разной природы не существовало. Евдокс первым дал этому четкое определение (определение 5 книги V «Начал» Евклида): «Говорят, что величины находятся в том же отношении: первая ко второй и третья к четвертой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, или одновременно равны, или одновременно меньше равнократных второй и четвертой каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответственном порядке».

В переводе на более современный язык это означает, что два отношения а/Ь и c/d равны, если для двух любых натуральных чисел k и k' выполняется условие:

если ka < k'b, то kc < k'd;

если ka = k'b, то kc = k'd;

если ka > k'b, to kc > k'd.

Определение кажется тривиальным, но это совершенно не так. Нужно учитывать, что в формулировке Евдокса оно применимо к соотношениям корней чисел и даже к геометрическим фигурам. Например, первые две величины могут обозначать сферы, третья и четвертая — кубы, построенные на диаметрах этих сфер. Более того, в этих правилах можно увидеть первые наброски будущего определения иррационального числа, данного в XIX веке Рихардом Дедекиндом с помощью метода, который он сам называл методом сечений.

* * *