Открытие без границ

БОЧКИ КЕПЛЕРА

Задача о бочках, рассмотренная Кеплером, принадлежит к классическим задачам, решаемым с помощью интегрального исчисления. Общим случаем этой задачи является вычисление объема жидкости, заключенной в сосуде определенной формы. Когда цистерна с бензином приезжает на автозаправку, оператор обычно опускает в нее длинный металлический стержень для измерения уровня жидкости в емкости. Очевидно, что отметки на этом стержне должны быть нанесены в зависимости от формы цистерны. Как правило, она имеет форму цилиндра, основания которого являются полусферами или параболоидами вращения. В некоторых аэропортах можно встретить цистерны такой же формы с керосином.

* * *

Галилей

Галилео Галилей (1564–1642) совершил революцию во многих областях науки. Мы не будем рассказывать ни о его творчестве, ни о том, какое влияние оно оказало на науку в целом, — рассмотрим вкратце его размышления о бесконечности.

Во-первых, Галилей рассматривал движение как процесс, происходящий без пауз, то есть делал выбор в пользу непрерывного, а не дискретного, зная, что занимает рискованную позицию, так как это автоматически означало принятие перехода от потенциальной к актуальной бесконечности. Для этого задачи, связанные с движением, следует рассматривать с геометрической точки зрения. Графическое изображение движения с переменной скоростью может выглядеть, например, следующим образом.

  

Портрет Галилео Галилея кисти фламандского художника Юстуса Сустерманса (1636) и график, описывающий свободное падение тел.

На горизонтальной оси откладывается время, на вертикальной — скорость. Неравномерное движение описывается, например, уравнением v = 2t. Это означает, что с течением времени скорость возрастает: по прошествии одной секунды она равна 2, по прошествии двух секунд — 4 и т. д. Если в треугольнике АВС сторона АВ представляет пройденное время, сторона ВС — скорость, то пройденный путь будет равняться площади треугольника АВС. Галилея интересовало применение этого метода к более сложным разновидностям движения, например по параболической траектории, при этом неизбежно требовалось рассматривать кривые линии и площади фигур, ограниченных ими. В своих расчетах он использовал методы, схожие с методами Кеплера. Однако, как вы увидите чуть позже, его ученик Кавальери первым сформулировал рациональный метод для вычисления площадей подобных фигур.

Как мы уже говорили, Галилей неизбежно должен был столкнуться с парадоксами бесконечности и изучить ее природу. Именно так он пришел к парадоксу, который не смог разрешить. С формальной точки зрения эта задача даже не была парадоксом, но она содержала, как вы убедитесь чуть позже, возможное математическое определение бесконечности.

Эта задача-парадокс, которая впервые упоминается в диалогах Галилея в 1638 году, звучит так.

Рассмотрим в качестве исходного множества ряд чисел:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10…

Далее запишем ряд чисел, которые являются их квадратами:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100….

Очевидно, что оба этих множества бесконечны в том смысле, что мы можем неограниченно добавлять к ним все новые и новые числа. Кроме того, Галилей заметил, что каждому элементу первого множества соответствует один из элементов второго, но, с другой стороны, кажется очевидным, что в первом множестве больше чисел, чем во втором. Вопрос, который поставил Галилей, заключается в том, какая бесконечность больше, первая или вторая, что ведет к кажущемуся парадоксу. Он полагал, что либо в чем-то ошибался, либо сравнения, основанные на понятиях «больше», «меньше» и «равно», неприменимы, когда речь идет о бесконечности. В этом смысле он был прав, поскольку, как три столетия спустя доказал Георг Кантор, «арифметика бесконечного отлична от арифметики конечного».

Кавальери

Бонавентура Кавальери (1598–1647), иезуит и преподаватель математики в Болонье, был одним из учеников Галилея и больше всего интересовался вычислениями площадей и объемов. В 1635 году он опубликовал трактат на эту тему, озаглавленный «Геометрия, развитая новым способом при помощи неделимых непрерывного».