Открытие без границ

Декарт рассмотрел бесконечность в работе «Первоначала философии», в которой он говорил не о бесконечном, а о неопределенном. Он признавал существование бесконечно большого, заявляя, что число звезд на небе не определено, и существование бесконечно малого, говоря, что материя бесконечно делима. Эта подмена понятий была умышленной, и Декарт оправдывал ее тем, что слово «бесконечность» должно использоваться только применительно к Богу. Ученый принимал возможность того, что нечто бесконечное может иметь предел, недостижимый для нас. Таким образом, по мнению Декарта, невозможность существования актуальной бесконечности вызвана особенностями человеческой природы со всеми сопутствующими ограничениями, что не помешало ученому согласиться с существованием потенциальной бесконечности, так как, по его мнению, нельзя размышлять о конечном, если не существует бесконечного. «Невозможно, чтобы моя природа была такой, какая она есть, то есть конечной и содержащей представления о бесконечности, если бы бесконечности не существовало. Идея о Боге подобна отпечатку, который мастер ставит на своей работе, и ни в коей мере не требуется, чтобы этот отпечаток был чем-то, не принадлежащим работе мастера», — заключает Декарт, считавший наши представления о бесконечности врожденными.

* * *

ОПАСНЫЕ ЧАСТНЫЕ УРОКИ

В 1649 году королева Кристина пригласила Декарта в Швецию: она хотела учиться у него философии. Декарт воспользовался возможностью покинуть среду, где философские споры с голландскими протестантами постепенно становились все более и более ожесточенными.

По легенде, королева любила прохладу, и аудиенции обычно проходили в залах с открытыми окнами, из-за чего длились очень недолго. Декарт счел себя обязанным давать королеве уроки в таких же условиях. Кроме того, по привычке он начинал занятия очень рано: экипаж забирал его в половине пятого утра, занятия начинались спустя полчаса. Пять месяцев спустя Декарт заболел пневмонией и 11 февраля 1650 года умер.

Фрагмент картины «Диспут королевы Кристины и Декарта» французского художника Пьера-Луи Дюмениля. Версаль.

Глава 4 Математический анализ

История математического анализа очень увлекательна, а его постепенному развитию сопутствовали споры, касавшиеся бесконечности, в частности бесконечно малых величин, поэтому математический анализ также называется анализом бесконечно малых.

Анализ бесконечно малых

Почему он называется анализом и какое отношение к нему имеют бесконечно малые? Понятие «анализ» указывает, что в математическом анализе решение задачи рассматривается как рабочая гипотеза, после чего проводится анализ того, каким образом стало возможным прийти к этому решению. Одним из наиболее выдающихся ученых, которые использовали этот метод, был Декарт, а истоки метода восходят ко временам Евклида.

Название «анализ бесконечно малых» объясняется использованием величин, связанных с геометрическими элементами. Эти величины делятся произвольное число раз (бесконечное деление), а затем рассматриваются как основные и неделимые составляющие всего. Как вы уже поняли, анализ бесконечно малых восходит к знаменитому методу исчерпывания, придуманному Евдоксом, и был систематически описан математиками XVII столетия, в частности Робервалем, Барроу, Ньютоном и Лейбницем.

Отметим еще одно важное совпадение. С одной стороны, математика к тому времени превратилась в самостоятельную дисциплину в том смысле, что в ней не использовались модели природы. Скорее наоборот: это природа должна была адаптироваться к математике, что следовало понимать не как гипотезу, а как методологию, позволяющую создать прочную теорию, которая, разумеется, должна была найти практическое применение. Пример: с помощью методов анализа стало возможным определить, что траектория снаряда представляет собой параболу — геометрическую фигуру, четко определенную на языке функций. Наиболее вероятно, что траектория снаряда не является идеальной параболой, но, перефразируя Торричелли, «тем хуже для снаряда».