Открытие без границ

Другой важный момент — появление в теоретической физике двух новых понятий: тело и материальная точка. Первое ввел Декарт, а второе — Ньютон. Яблоко, которое якобы упало на голову Ньютону, было не спелым фруктом, приятным на вкус, а телом конкретных размеров, которое методами анализа можно свести к материальной точке.

Также следует учитывать, что в то время физика носила ярко выраженный прикладной характер: ее задачи имели исключительно практическую направленность. Например, известный оптический закон о том, что угол падения луча равен углу его отражения, очень важен при конструировании оптических приборов, однако эти углы отсчитываются от нормали, проведенной к отражающей поверхности в заданной точке. Если эта поверхность является прямой, к ней достаточно провести перпендикуляр в заданной точке, но если речь идет о криволинейной поверхности, как в большинстве оптических инструментов, то возникает интересная геометрическая задача. Как показано на рисунке, нормаль к криволинейной поверхности в точке — это прямая, перпендикулярная касательной к кривой в заданной точке, но алгоритм построения касательной к произвольной кривой в то время был неизвестен.

Касательная «прикасается» к кривой в единственной точке. Перпендикуляр к касательной в этой точке, по определению, является нормалью к кривой.

Еще один пример связан с нахождением максимумов и минимумов. Вернемся к примеру со снарядом. Очевидна необходимость вычисления максимальной дальности полета снаряда (а в некоторых случаях — максимальной высоты) в зависимости от угла наклона орудия.

Следующие четыре нерешенные задачи предопределили зарождение математического анализа, или анализа бесконечно малых:

— построение касательной к кривой в точке;

— расчет максимумов и минимумов функции;

— расчет квадратур, то есть вычисление площади, ограниченной одной или несколькими кривыми;

— спрямление кривых, то есть вычисление длины кривой между двумя ее точками.

Во всех этих задачах присутствуют бесконечно малые величины.

Ньютон и Лейбниц считаются родоначальниками математического анализа, в котором они систематизировали знания, накопленные их предшественниками. Они следовали разными путями, и им обоим пришлось столкнуться с загадками бесконечности, которые они решили каждый по-своему.

* * *

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ЭЙЛЕРА

С помощью интегралов можно рассчитывать не только площади плоских фигур, но также длины кривых, объемы тел, ограниченных произвольными поверхностями, и тел вращения. В общем случае интегралы позволяют найти любое значение, выраженное в виде бесконечной суммы бесконечно малых величин, то есть почти все что угодно. Сфера практического применения интегралов столь широка, что они образуют отдельный раздел прикладной математики. Вне зависимости от того, где выполняется вычисление интегралов, на маленьких калькуляторах или в мощных компьютерных программах, сложно представить инженера, которому не требовалось бы интегральное исчисление. В 1770 году швейцарский математик Леонард Эйлер (1707–1783) создал трехтомный труд по интегральному исчислению. В некотором смысле все современные книги по математическому анализу являются всего лишь измененными и обновленными изданиями этого труда, в котором даже спустя 150 лет после публикации никто не смог найти ни единого недочета. По этой причине «Интегральное исчисление» Эйлера считается важнейшей работой по математическому анализу из когда-либо написанных.

Обложка первого тома «Интегрального исчисления» Эйлера.

* * *

Ньютон