Открытие без границ

Одно из наиболее удачных определений, в котором не используются синонимы слова «множество» (по крайней мере, явным образом), принадлежит Бертрану Расселу: «Множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое». Это интересная точка зрения, так как в ней понятие множества определяется как результат мыслительной деятельности, и это означает, что речь идет о фундаментальном понятии.

* * *

СЧЕТ С ПОМОЩЬЮ КАМНЕЙ

Интересно отметить, что человек научился считать раньше, чем появились системы счисления, поэтому, вопреки распространенной точке зрения, можно утверждать, что понятие биективного отображения появилось одновременно с понятием числа или даже раньше. Например, пастуху, который хотел сосчитать число овец в стаде, требовалась сумка с камнями. Когда очередная овца выходила из загона, пастух вынимал из сумки один камень. Вечером, пригнав овец обратно в загон, пастух устанавливал взаимно однозначное соответствие между овцами и камнями. (От латинского слова calculus — «камень» происходит, например, современное слово «калькулятор».)

* * *

Как мы уже говорили, фундаментальным также является понятие подсчета элементов множества. При счете мы в действительности сравниваем элементы двух множеств. Например, если мы хотим узнать, сколько человек находится в помещении (то есть сколько элементов содержит множество людей, находящихся в помещении), мы берем за основу известное множество, образованное натуральными числами 1, 2, 3, …, и присваиваем каждому человеку в помещении порядковый номер без повторений. Закончив подсчет, мы смотрим, какое число мы присвоили последним. Если это число равно, например, 23, мы говорим, что в помещении находится 23 человека. В действительности мы сравнили два множества — множество людей и множество чисел {1, 2, 3, …, 22, 23}, установив так называемое взаимно однозначное соответствие. Взаимно однозначное соответствие можно установить между множествами разной природы, важно лишь, чтобы при этом соблюдались определенные правила. Например, если даны множество заглавных букв {А, F, H, P, V} и множество строчных букв {a, b, с, d, е}, то между ними можно установить следующее отношение:

Каждому элементу первого множества должен соответствовать один и только один элемент второго множества, и наоборот. Это единственное правило, которому должны подчиняться биективные, то есть взаимно однозначные отображения.

На рисунке ниже мы также видим соответствия:

Однако они не удовлетворяют этому правилу.

Таким образом, Кантор определил простейшее понятие подсчета, а также ввел понятие кардинальности множества.

Если мы рассмотрим множества, между которыми можно установить биективное отображение, то увидим, что число элементов в этих множествах одинаково. Но если одно множество состоит из четырех элементов, а другое — из трех, между ними нельзя установить биективное отображение: какой-либо элемент остается без пары или какому-либо элементу будет сопоставлено сразу несколько элементов.

Кантор определил эквивалентность множеств следующим образом: «Кардинальность двух множеств одинакова, если между ними можно установить биективное (взаимно однозначное) отображение». О множествах с одинаковой кардинальностью говорят, что они являются равномощными, то есть имеют одинаковое число элементов.

Таким образом, если дано произвольное множество, например коробка цветных карандашей, которое мы обозначим А, и можно установить взаимно однозначное соответствие между множеством A и множеством N = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, то говорят, что кардинальность А и N одинакова:

|A| = |N| = 6

Может показаться, что мы усложняем очевидное, но это впечатление обманчиво: новый логический аппарат позволил дать четкое определение бесконечному множеству.

Для этого сначала определим, что такое конечное множество. Непустое множество А (иными словами, содержащее как минимум один элемент) является конечным, если для некоторого числа n множество А имеет ту же кардинальность, что и множество {1, 2, 3, …, n}. Следовательно, n будет числом элементов множества A. В противном случае говорят, что множество А бесконечное.

Аналогично: множество А бесконечно, если существует собственное подмножество В множества А, имеющее ту же кардинальность, что и само А. В противном случае множество А является конечным.