Открытие без границ

По этой причине с открытым Кантором понятием счетности оказалось тесно связано понятие непрерывности. Неизбежно возник вопрос: если расширить множество рациональных чисел иррациональными, будет ли полученное множество счетным?

Иными словами, можно ли говорить, что М — счетное множество?

Нет, это не так, и Кантор это доказал с помощью метода, схожего с тем, который он использовал при доказательстве счетности множества , но намного более сложного. Также, используя метод доведения до абсурда, он показал, что множество (0, 1) всех вещественных чисел, заключенных между 0 и 1, не является счетным, следовательно, М также не может быть счетным. Таким образом Кантор создал серьезный прецедент, сыгравший определяющую роль в математике XX века. Достаточно сказать, что этот прецедент стал частью доказательства знаменитой теоремы Геделя о неполноте.

* * *

МЫСЛИТЬ — ЭТО БОЛЬШЕ, ЧЕМ ГОВОРИТЬ

Согласно теории множеств Кантора, множество всех возможных слов, как произнесенных, так и записанных на бумаге, является счетным. Если учитывать, что множество знаков (букв, символов и т. д.) в языке конечно, то очевидно, что на его основе можно сформировать счетное множество. Другое дело — множество вещей, о которых мы можем подумать. Оно, очевидно, не является счетным. Мы можем представить, например, множество окружностей на плоскости, имеющее мощность континуум. Таким образом, все, что мы можем сказать, поддается упорядочению, а все, о чем мы можем подумать, не поддается или поддается лишь частично. Следовательно, можно упорядочить лишь часть наших мыслей, а большинство из них принадлежит к миру хаоса.

Буквы алфавита образуют ограниченное и, следовательно, счетное множество.

* * *

Больше чем бесконечность

Ты всем известен, но никем не охвачен, ибо умеренное кажется большим, большое — бесконечным и еще раз бесконечным.

«Герой». Бальтазар Грасиан (1601–1658)

Кантор знал, что ни вещественная прямая, ни какой-либо из ее отрезков не являются счетными. Далее он совершил гигантский шаг и встретился с бесконечностью лицом к лицу.

Напомним, что для того чтобы получить множество вещественных чисел, необходимо добавить к множеству рациональных чисел множество иррациональных чисел, которые нельзя представить в виде частного двух целых. Множество вещественных чисел также является бесконечным и плотным. Однако оно не является счетным, в отличие от двух предыдущих, то есть этому множеству никоим образом нельзя поставить в соответствие ряд натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, …

Поэтому Кантор сформулировал следующую задачу: имеются бесконечные множества, в каждом из которых число элементов одинаково, например множества натуральных, четных или рациональных чисел. Однако в этом случае появляется новое множество вещественных чисел, которое также является бесконечным, но в нем больше элементов, чем в этих трех множествах. Здесь Кантор вводит одну из самых революционных идей за всю историю математики: возможно, не все бесконечности одинаковы, а некоторые из них больше, чем другие? В качестве отправной точки он использовал бесконечное множество натуральных чисел. Затем он доказал, что множество вещественных чисел  не является счетным и содержит больше элементов, чем , то есть больше, чем множества натуральных и рациональных чисел. Кардинальное число множества  он обозначил как алеф-один — . Так родился раздел математики, посвященный трансфинитным числам.

* * *