Открытие без границ

ПРОВИДЕЦ ИЗ IX ВЕКА

Сабит ибн Курра (ок. 836–901) был авторитетным арабским ученым, жившим в IX веке. Известно, что он родился в Харране, в Междуречье. Помимо большого числа текстов по богословию и философии, он создал любопытный математический трактат, посвященный, главным образом, арифметике. В нем ибн Курра, продемонстрировав невиданную для своего времени смелость, рассматривает возможность существования различных видов бесконечности в том смысле, что некоторые ее виды могут быть больше других. Таким образом, ибн Курру можно считать подлинным предшественником Кантора.

* * *

Кантор знал, что — число точек, содержащихся на любом отрезке прямой. Это означает, что вне зависимости от размера двух отрезков прямой число точек на них будет одинаковым. Может показаться удивительным, но очень простое доказательство этого утверждения было известно еще древним грекам.

Даны два отрезка, а и b. Чтобы установить взаимно однозначное соответствие между их точками, достаточно выполнить следующее построение. Соединим концы отрезков прямыми с и d, которые пересекутся в точке Е.

Выберем произвольную точку F отрезка а и соединим отрезком эту точку с точкой Е — точкой пересечения прямых с и d. Точка G, в которой эта прямая пересечет отрезок Ь, и будет искомым отображением точки F. Очевидно, что таким образом можно сопоставить каждой точке отрезка а точку отрезка b и наоборот. Это доказывает, что число точек на обоих отрезках одинаково.

Затем Кантор выполнил смертельный номер: взяв за основу один из этих отрезков, он построил квадрат

и смог доказать, что кардинальное число множества всех точек квадрата равно , то есть число точек квадрата равно числу точек на любой его стороне. Затем он сделал еще один шаг и, использовав этот квадрат в качестве основания, построил куб:

И вновь доказал, что число точек, содержащихся в кубе, также равно !

«Я вижу это, но я в это не верю», — писал Кантор Дедекинду в 1877 году, пытаясь объяснить эти взаимно однозначные соответствия между фигурами, имеющими разное число измерений. Кантор доказал положение, противоречащее любым интуитивным и математическим представлениям о размерности: все одномерные, двумерные и трехмерные объекты, с которыми он работал, содержали одно и то же число точек, равное .

Это было невероятно, и этот результат означал, что на любом, сколь угодно малом, отрезке содержится столько же точек, сколько во всей известной Вселенной. Внутри бесконечно малого оказалось заключено нечто бесконечно большое.

В действительности дело этим не ограничивается:  также равно числу точек в произвольном гиперпространстве. Иными словами, если бы мы могли проникать в пространства высших измерений (четырех-, пятимерные пространства и т. д.),  означало бы число точек, содержащихся в этих пространствах.

Трансцендентные числа

Вы увидели, что множества  (натуральных чисел),  (целых чисел) и  (рациональных чисел) содержат одинаковое число элементов (то есть являются равномощными) — бесконечное число, обозначенное Кантором как . Множество вещественных чисел получается, если расширить множество рациональных чисел иррациональными. Возникает вопрос: существует ли столько иррациональных чисел, чтобы общее количество вещественных чисел равнялось ? Ответ на этот вопрос достаточно любопытен и не лишен таинственности. Однако чтобы понять его, сначала следует узнать о так называемых трансцендентных числах.

Уравнение одной переменной х степени п с рациональными коэффициентами — это равенство вида

C_nxⁿ + C_{n — 1}x^{n — 1} +… + C₁x + C₀ = 0

Тому, кто не знаком с подобными выражениями, оно может показаться сложным, но это не так. В этом контексте уравнение — не более чем равенство, в левой части которого записаны слагаемые с неизвестным х, возведенным в некоторую степень и умноженным на некие числа (коэффициенты), а в правой части записан ноль. Решить уравнение означает найти такое значение х, при котором уравнение обращается в верное равенство. Например, в уравнении

х — 2 = 0

коэффициенты равны 1 и —2, а решением является х = 2.

Иррациональное число, например √2, является результатом решения уравнения вида

х² — 2 = 0.

По определению, число х является алгебраическим, если оно выступает корнем (решением) алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Проясним некоторые понятия, чтобы сделать это определение более понятным. Алгебраическое уравнение представляет собой многочлен, приравненный к нулю, например

Зх² + 5х — 1 = 0,

где 3, 5 и —1 — коэффициенты. Выражение

√3х⁵ - 5х² = 0