Открытие без границ

СВОБОДА МАТЕМАТИКИ

Можно сказать, что в настоящее время мечта Кантора о свободной математике полностью сбылась. По меньшей мере, никто и ничто (в так называемых цивилизованных странах) не ставит палки в колеса авторам математических теорий по философским или религиозным причинам. Сегодня в математике используются так называемые «большие кардиналы», которые столь велики, что рядом с ними трансфинитные числа Кантора кажутся карликами. Их определение очень сложно, хотя они строятся по правилам, схожим с теми, что применяются к алеф-числам: рассматривается последовательность множеств, включенных одно в другое, затем анализируются соответствующие множества их частей.

* * *

Кантор назвал алеф-нулем кардинальное число множества натуральных чисел || = , а кардинальное число множества вещественных чисел  он обозначил термином «континуум» и символом с. Сделал он так потому, что вещественные числа полностью заполняют вещественную прямую, а так как эта прямая представляет собой непрерывную последовательность чисел (в ней отсутствуют промежутки), ее можно обозначить словом «континуум» (от лат. continuum — «непрерывное»).

В соответствии с этим

Однако числа алеф образуют возрастающую последовательность

Здесь Кантор сформулировал следующий вопрос: существует ли такой кардинал, который заключен между кардинальным числом множества натуральных чисел и континуумом? Каким-то образом ему удалось понять, что выполняется равенство

Иными словами, не существует множества, размер которого заключен между размером множества натуральных и вещественных чисел, — эта гипотеза называется континуум-гипотезой. Чтобы доказать ее, Кантору потребовалось приложить невероятные усилия. Не раз он считал, что континуум-гипотеза доказана, но ему так и не удалось сформулировать доказательство, которое его полностью устраивало бы.

Континуум-гипотезу безуспешно пытались доказать многие современники Кантора, в том числе Гильберт, Рассел и Цермело. Венгерский математик Денеш Кёниг (1849–1913) на конгрессе в Гейдельберге в 1904 году представил доказательство ложности континуум-гипотезы. Но Кантор верил своей интуиции и считал, что доказательство Кёнига не может быть истинным, хотя так и не смог найти в нем ошибку. Обнаружил ее Цермело, таким образом, вопрос доказательства континуум-гипотезы оставался открытым, и Гильберт включил его в свой знаменитый список из 23 наиболее важных нерешенных задач математики.

В 1963 году американский математик Пол Джозеф Коэн (1934–2007), основываясь на результатах о непротиворечивости аксиом, полученных Гёделем, доказал, что континуум-гипотеза может быть истинной или ложной в зависимости от выбранной системы аксиом, использованной для построения теории множеств. Таким образом, сложилась та же ситуация, что и со знаменитым пятым постулатом Евклида о параллельности прямых («в плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной»): в зависимости от выбранной геометрии этот постулат либо выполняется (в геометрии Евклида), либо нет (в геометрии Лобачевского).

Несмотря на это некоторые до сих пор считают, что вопрос о доказательстве континуум-гипотезы окончательно не решен, так как ситуацию может изменить новая система аксиом, на которой будет выстроена теория множеств. Более того, пока не появится новая система аксиом, мы не можем гарантировать, что ясно представляем себе, что такое вещественное число.

Американский математик Пол Джозеф Коэн в 1963 году доказал, что континуум-гипотеза недоказуема в системе аксиом теории множеств, решив тем самым одну из важнейших открытых задач математики.

Глава 6 Ад Кантора

Когда люди открывают новые земли, которые предстоит нанести на карты и описать в книгах, они платят за это свою цену, ведь ничего не дается даром. Некоторые благодаря своим открытиям обретают славу и известность, а другие умирают в абсолютном забвении, так и не узнав, какую важную роль они сыграли.

Детство