Георг Кантор родился в Санкт-Петербурге 3 марта 1845 года. Его отец, Георг-Вольдемар Кантор, датчанин по происхождению, переехал в Санкт-Петербург еще ребенком. Во взрослые годы он основал процветающее предприятие по торговле импортными тканями. Несколько лет спустя он оставил дело и стал биржевым маклером. Георг-Вольдемар Кантор, глубоко религиозный человек, заработал значительное состояние благодаря терпению, знаниям и самоотречению. Эти же качества он прививал детям, которых воспитывал в духе лютеранской морали. Его женой стала Марианна Бойм, католичка русского происхождения, дочь дирижера в оркестре Санкт-Петербургской оперы. Георг-Вольдемар Кантор также происходил из семьи с крепкими музыкальными традициями, поэтому неудивительно, что они с женой отводили важное место обучению детей музыке.
Георг Кантор был старшим из четырех детей. В ранние годы он обучался на дому, а в 1856 году поступил в начальную школу в Санкт-Петербурге. Детство в России он всегда называл самым счастливым периодом в жизни.
В 1856 году, после перенесенного воспаления легких, отец Кантора был вынужден оставить Россию с ее суровым климатом и переехать с семьей в Германию. Ненадолго остановившись в Висбадене, семья в итоге обосновалась во Франкфурте. В 1860 году Георг окончил реальное училище в Дармштадте — небольшом городке близ Франкфурта. В это время он уже проявлял исключительные способности к математике, особенно к тригонометрии. Однако его отец не представлял, какую работу в будущем сможет найти математик, поэтому предложил сыну изучить инженерное дело. Кантор, как всегда, последовал совету отца и в 15 лет поступил в училище в Висбадене.
Отец часто писал Кантору, стремясь воспитать в сыне моральную твердость, основанную на религиозных принципах. Среди переписки очень выделяется письмо от 25 мая 1862 года, в котором он, помимо прочего, пишет:
«[…] Часто наиболее многообещающие личности сдаются, столкнувшись с незначительными трудностями, возникающими при решении практических вопросов. Они оказываются абсолютно сломленными и в лучшем случае переживают серьезное потрясение… Поверь мне, дорогой сын: твоим самым близким, верным и опытным другом, который должен жить в тебе и укреплять твое сердце, должен быть дух истинной веры… Чтобы предупредить все возможные проблемы и трудности, которые неизбежно возникнут по причине зависти и злословия тайных и явных недоброжелателей, вызванных стремлением к успеху в нашем деле или торговле, чтобы успешно справиться с ними, тебе прежде всего потребуется обрести как можно больше знаний и умений… Закончу письмо такими словами: твой отец, вернее твои родители и все остальные члены нашей семьи и в Германии, и в России, и в Дании смотрят на тебя как на старшего сына и ожидают, что твоя звезда ярко засияет на небосводе науки. Да дарует тебе Господь здоровья, сил, твердости характера и да пребудет с тобой его благословение. Неизменно следуй Его путем. Аминь!»
В этом письме Георг-Вольдемар Кантор во многом предугадал дальнейший жизненный путь сына. Вне сомнений, он был достаточно умным человеком и понимал, что его увлеченный математикой сын отличается беспокойной и творческой натурой.
Отец хотел подготовить юношу к возможным трудностям, с которыми тому предстояло столкнуться. И в том же году он разрешает сыну начать заниматься математикой. В ответ будущий ученый с благодарностью пишет: