Отличная квантовая механика

a) Возможные состояния физической системы образуют гильбертово пространство над полем комплексных чисел.

b) Несовместимые квантовые состояния соответствуют ортогональным векторам.

c) Все векторы, представляющие физические квантовые состояния, нормированы.

Данный постулат содержит два понятия, которые мы еще не определили: квантовое состояние и физическая система. Понятия эти настолько фундаментальны, что строгое определение им дать трудно[4]. Поэтому я проиллюстрирую их интуитивно, на примерах.

Физическая система — это объект или даже одна либо несколько степеней свободы объекта, которые можно изучать независимо от остальных степеней свободы и других объектов. Например, если наш объект — атом, то квантовая механика может изучать его движение как целого (одна физическая система), а может исследовать движение его электронов вокруг ядра (другая физическая система). Но если мы хотим изучать образование из двух атомов молекулы, то нам следует учитывать, что динамические состояния обоих атомов и электронов в них влияют друг на друга, поэтому мы должны рассматривать все эти степени свободы как единую физическую систему. Если же речь идет о самой молекуле, то квантовая механика может изучать движение ее центра масс (одна физическая система), вращательное движение (другая физическая система), колебания ее атомов (третья система) или квантовые состояния ее электронов (четвертая система) и т. д.

Чтобы разобраться в понятии состояния, рассмотрим следующую физическую систему: массивную частицу, которая может двигаться вдоль координатной оси x. С одной стороны, возможно определить ее квантовое состояние, сказав, что «координата частицы — в точности x = 5 м». Это допустимое определение; мы будем обозначать такое состояние как |x = 5 м⟩. Еще одно допустимое состояние можно обозначить как |x = 3 м⟩. Эти состояния ортогональны (⟨x = 5 м| x = 3 м⟩ = 0), потому что «несовместимы»: если достоверно известно, что координата частицы равна 5 м, она не может быть обнаружена в состоянии x = 3 м. Еще один пример допустимого квантового состояния, в котором частица может находиться, — это «движется со скоростью 𝑣 = 4 м/с». Поскольку в таком состоянии импульс частицы известен точно, ее координата остается полностью неопределенной — т. е. данная частица может быть с некоторой вероятностью обнаружена в точке x = 5 м. Следовательно, скалярное произведение ⟨x = 5 м| 𝑣 = 4 м/с⟩ не равно нулю; эти состояния не являются несовместимыми.

Данный постулат гласит также, что если |x = 5 м⟩ и |x = 3 м⟩ — допустимые квантовые состояния, то состояние (где — нормирующий множитель, объяснение см. в упр. 1.1) также является допустимым. Называется оно суперпозицией состояний. Для большей наглядности скажем, что если |кошка жива⟩ и |кошка мертва⟩ — допустимые состояния физической системы «кошка», то допустима и суперпозиция этих состояний[5].

Являются ли суперпозиции состояний математической абстракцией или они каким-то образом отражаются в физическом поведении системы? Верно, конечно же, второе. Как мы вскоре увидим, если подвергнуть, например, кошку в состояниях   и просто случайную смесь состояний |кошка жива⟩ и |кошка мертва⟩ квантовому измерению, то результаты мы будем наблюдать совершенно разные.

Напрашивается еще один вопрос. Мы не видим состояний суперпозиции в повседневной жизни — хотя они полностью совместимы с канонами квантовой механики. Почему? Как мы узнаем из следующей главы, дело в том, что суперпозиции макроскопически различных состояний чрезвычайно хрупки и быстро переходят в один из своих компонентов — в случае кошки Шрёдингера та быстро становится либо живой, либо мертвой. В микроскопическом мире, однако, состояния суперпозиции относительно устойчивы и нужны для физического описания системы. Необходимость иметь дело с объектами, само существование которых вступает в противоречие с нашим повседневным опытом, — одна из причин того, почему квантовая механика так сложна для понимания.

Упражнение 1.1. Чему равен нормирующий множитель 𝒩 состояния кошки Шрёдингера |ψ⟩ = 𝒩 [2|жива⟩ + i|мертва⟩], гарантирующий, что |ψ⟩ — физическая система?

Упражнение 1.2. Какова размерность гильбертова пространства, связанного с одной кинетической степенью свободы массивной частицы?

Подсказка: если вам кажется, что ответ очевиден, загляните в решение.

1.3. Поляризация фотона

Мы начнем изучение квантовой механики с одной из простейших физических систем: поляризации фотона[6]. Размерность гильбертова пространства этой системы равна всего лишь двум, но этого вполне достаточно, чтобы показать, насколько поразительным может быть мир квантовой механики.