Ответы на экзаменационные билеты по эконометрике

При построении нормальной линейной модели регрессии учитываются следующие условия, касающиеся случайной ошибки модели регрессии:

6) математическое ожидание случайной ошибки модели регрессии равно нулю во всех наблюдениях:

7) дисперсия случайной ошибки модели регрессии постоянна для всех наблюдений:

8) между значениями случайных ошибок модели регрессии в любых двух наблюдениях отсутствует систематическая взаимосвязь, т. е. случайные ошибки модели регрессии не коррелированны между собой (ковариация случайных ошибок любых двух разных наблюдений равна нулю):

Второе условие

означает гомоскедастичность (homoscedasticity – однородный разброс) дисперсий случайных ошибок модели регрессии.

Под гомоскедастичностью понимается предположение о том, что дисперсия случайной ошибки βi является известной постоянной величиной для всех наблюдений.

Но на практике предположение о гомоскедастичности случайной ошибки βi или остатков модели регрессии ei выполняется не всегда.

Под гетероскедастичностью (heteroscedasticity – неоднородный разброс) понимается предположение о том, что дисперсии случайных ошибок являются разными величинами для всех наблюдений, что означает нарушение второго условия нормальной линейной модели множественной регрессии:

Гетероскедастичность можно записать через ковариационную матрицу случайных ошибок модели регрессии:

Тогда можно утверждать, что случайная ошибка модели регрессии βi подчиняется нормальному закону распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией G2Ω:

εi~N(0; G2Ω),

где Ω – матрица ковариаций случайной ошибки.

Если дисперсии случайных ошибок

модели регрессии известны заранее, то проблема гетероскедастичности легко устраняется. Однако в большинстве случаев неизвестными являются не только дисперсии случайных ошибок, но и сама функция регрессионной зависимости y=f(x), которую предстоит построить и оценить.

Для обнаружения гетероскедастичности остатков модели регрессии необходимо провести их анализ. При этом проверяются следующие гипотезы.

Основная гипотеза H0 предполагает постоянство дисперсий случайных ошибок модели регрессии, т. е. присутствие в модели условия гомоскедастичности:

Альтернативная гипотеза H1 предполагает непостоянство дисперсиий случайных ошибок в различных наблюдениях, т. е. присутствие в модели условия гетероскедастичности:

Гетероскедастичность остатков модели регрессии может привести к негативным последствиям:

1) оценки неизвестных коэффициентов нормальной линейной модели регрессии являются несмещёнными и состоятельными, но при этом теряется свойство эффективности;

2) существует большая вероятность того, что оценки стандартных ошибок коэффициентов модели регрессии будут рассчитаны неверно, что конечном итоге может привести к утверждению неверной гипотезы о значимости коэффициентов регрессии и значимости модели регрессии в целом.

58. Тест Глейзера обнаружения гетероскедастичности остатков модели регрессии

Существует несколько тестов на обнаружение гетероскедастичности остатков модели регрессии.

Рассмотрим применение теста Глейзера на примере линейной модели парной регрессии.

Предположим, что на основе проведённого исследования зависимость между переменными можно аппроксимировать линейной моделью парной регрессии вида:

yi=β0+β1xi.

Неизвестные коэффициенты β0и β1линейной модели парной регрессии определяются с помощью метода наименьших квадратов. В результате мы получим оценённую модель регрессии вида:

После этого необходимо рассчитать остатки модели регрессии по формуле:

Полученные остатки модели регрессии возводятся в квадрат:

Далее для обнаружения гетероскедастичности остатков данной модели регрессии необходимо рассчитать коэффициент Спирмена между квадратами регрессионных остатков

и значениями факторной переменной xi.

Коэффициент Спирмена является аналогом парного коэффициента корреляции, однако, с его помощью можно оценить тесноту зависимости не только между количественными, но и между количественными и качественными переменными.

В качестве зависимой переменной будет выступать квадрат остатков модели регрессии

в качестве независимой переменной – значения факторной переменной xi.

Значения независимой переменной xi ранжируется и располагается по возрастанию. Ранги обозначаются как Rx. Далее проставляются ранги зависимой переменной

обозначаемые как Re.

Коэффициент Спирмена рассчитывается по формуле:

где d – ранговая разность (Rx– Re);

n – количество пар вариантов.

Далее необходимо проверить значимость вычисленного коэффициента Спирмена.

При проверке значимости коэффициента Спирмена выдвигается основная гипотеза о его незначимости:

Н0: Кспир=0.

Тогда конкурирующей или альтернативной гипотезой будет гипотеза вида:

Н1: Кспир≠0.

Проверка выдвинутых гипотез осуществляется с помощью t-критерия Стьюдента.