Ответы на экзаменационные билеты по эконометрике

Для достижения большей гибкости модели временных рядов при эконометрическом моделировании в неё включают как члены авторегрессии, так и члены скользящего среднего. Подобные модели получили название смешанных моделей авторегрессии скользящего среднего и также относятся к линейным моделям стационарных временных рядов.

Смешанная модель авторегрессии скользящего среднего обозначается как АРСС(p,q) или ARMA(p,q).

Чаще всего на практике используется смешанная модель АРСС(1) с одним параметром авторегрессии p=1 и одним параметром скользящего среднего q=1. Данная модель имеет вид:

yt=δyt–1+νt–φνt–1,

где δ – параметр процесса авторегрессии;

φ – параметр процесса скользящего среднего;

νt – белый шум.

На коэффициенты данной модели накладываются следующие ограничения:

1) |δ|<1 – условие, обеспечивающее стационарность смешанной модели;

2) |φ|‹1 – условие, обеспечивающее обратимость смешанной модели.

Свойство обратимости смешанной модели АРСС(p,q) означает, что модель скользящего среднего можно обратить или переписать в виде модели авторегрессии неограниченного порядка, и наоборот.

83. Модель авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего

Модель авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС) была предложена американскими учёными Боксом и Дженкинсом в 1976 г. как один из методов оценки неизвестных параметров и прогнозирования временных рядов.

Моделью авторегрессиии проинтегрированного скользящего среднего называется модель, которая применяется при моделировании нестационарных временных рядов.

Нестационарный временной ряд характеризуется непостоянными математическим ожиданием, дисперсией, автоковариацией и автокорреляцией.

В основе модели авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего лежат два процесса:

1) процесс авторегрессии;

2) процесс скользящего среднего.

Процесс авторегрессии может быть представлен в виде:

xt=a+δ1xt-1+δ2xt-2+…+εt,

где a – свободный член модели, являющийся константой;

δ1 δ2…— параметры модели авторегрессии;

ε – случайное воздействие (ошибка модели).

Каждое наблюдение в модели авторегрессии представляет собой сумму случайной компоненты и линейной комбинации предыдущих наблюдений.

Процесс скользящего среднего может быть представлен в виде:

xt=μ+εt–θ1εt–1–θ2εt–2–…

где μ – свободный член модели, являющийся константой;

θ1 θ2… – параметры модели скользящего среднего;

ε – случайное воздействие (ошибка модели).

Текущее наблюдение в модели скользящего среднего представляет собой сумму случайной компоненты в данный момент времени и линейной комбинации случайных воздействий в предыдущие моменты времени.

Следовательно, в общем виде модель авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего описывается формулой:

где С – свободный член модели, являющийся константой;

εt – некомпенсированный моделью случайный остаток.

В обозначениях Бокса и Дженкинса модель авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего записывается как АРПСС(p,d,q) или ARIMA (p,d,q), где

p – параметры процесса авторегрессии;

d – порядок разностного оператора;

q – параметры процесса скользящего среднего.

Для рядов с периодической сезонной компонентой применяется модель авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего с сезонностью, которая в обозначениях Бокса и Дженкинса записывается как АРПСС (p,d,q) (ps,ds,qs), где

ps – сезонная авторегрессия;

ds – сезонный разностный оператор;

qs – сезонное скользящее среднее.

Моделирование нестационарных временных рядов с помощью модели авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего осуществляется в три этапа:

1) проверка временного ряда на стационарность;

2) идентификация порядка модели и оценивание неизвестных параметров;

3) прогноз.

Применение модели АРПСС предполагает обязательную стационарность исследуемого ряда, поэтому на первом этапе данное предположение проверяется с помощью автокорреляционной и частной автокорреляционной функций ряда остатков. Остатки представляют собой разности наблюдаемого временного ряда и значений, вычисленных с помощью модели.

Устранить нестационарность временного ряда можно с помощью метода разностных операторов.

Разностным оператором первого порядка называется замена исходного уровня временного ряда разностями первого порядка:

Разностные операторы первого порядка позволяет исключить линейные тренды.

Разностные операторы второго порядка позволяют исключить параболические тренды.

Сезонные разностные операторы предназначены для исключения 12-ти или 4-х периодичной сезонности:

Если модель содержит и трендовую, и сезонную компоненты, то необходимо применять оба оператора.

На втором этапе необходимо решить, сколько параметров авторегрессии и скользящего среднего должно войти в модель.