Первые три минуты

Мы можем использовать эту теорему для того, чтобы вычислить критическую плотность в моделях Фридмана (рис. 3). Если мы нарисуем сферу с нашей Галактикой в центре и какой-то удаленной галактикой на поверхности, то для вычисления скорости отрыва[14], т. е. той скорости, которой должна обладать галактика на поверхности сферы, чтобы иметь возможность удалиться в бесконечность, нам надо учесть массу галактик внутри сферы. Оказывается, что эта скорость отрыва пропорциональна радиусу сферы — чем массивнее сфера, тем быстрее нужно двигаться, чтобы оторваться от нее. Но закон Хаббла утверждает, что действительная скорость галактики на поверхности сферы также пропорциональна радиусу сферы, т. е. расстоянию до нас. Следовательно, хотя скорость отрыва зависит от радиуса, отношение действительной скорости галактики к скорости отрыва не зависит от размеров сферы; это отношение одинаково для всех галактик и не зависит от того, какую из них мы возьмем за центр сферы. В зависимости от значений постоянной Хаббла и космической плотности каждая галактика, движущаяся по закону Хаббла, либо имеет скорость больше скорости отрыва и будет удаляться в бесконечность, либо имеет скорость меньше скорости отрыва и приблизится к нам через какое-то время в будущем. Критическая плотность есть просто та величина космической плотности, при которой скорость отрыва каждой галактики в точности равна скорости, даваемой законом Хаббла. Критическая плотность может зависеть только от постоянной Хаббла, и оказывается, что она пропорциональна ее квадрату (см. математическое дополнение 2).

Рис. 3. Теорема Биркгофа и расширение Вселенной.

Показан ряд галактик со скоростями по отношению к данной галактике G, отмеченными длинами и направлениями сплошных стрелок. (В соответствии с законом Хаббла эти скорости взяты пропорциональными расстоянию до G.) Теорема Биркгофа утверждает, что для вычисления движения галактики А по отношению к G, необходимо принять во внимание лишь массу, содержащуюся внутри сферы, проведенной вокруг G и проходящей через А, которая показана здесь пунктирной линией. Если А не слишком далека от G, гравитационное поле вещества внутри сферы будет умеренным и движение А можно рассчитать с помощью правил ньютоновой механики.

Детальная временная зависимость размера Вселенной (т. е. расстояния между любыми типичными галактиками) может быть получена с помощью аналогичных аргументов, но результат оказывается довольно сложным (рис. 4). Однако имеется один простой результат, который будет позднее очень важен для нас. В раннюю эпоху Вселенной размер ее менялся в зависимости от времени по простому степенному закону: время в степени две трети, если можно пренебречь плотностью излучения, или время в степени одна вторая, если плотность излучения превышает плотность вещества (см. математическое дополнение 3). Один аспект фридмановских космологических моделей, который нельзя понять без общей теории относительности, — это связь между геометрией и плотностью: Вселенная открыта и бесконечна или замкнута и конечна соответственно тому, больше или меньше скорость галактик, чем скорость отрыва.