Пятьсот двадцать головоломок

113. Два множителя. Найдите два целых числа, разность между которыми минимальна, а их произведение равно 1 234 567 890.

114. Деление на 11. Если девять цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 записаны в случайном порядке, например 412 539 768, то какова вероятность того, что получившееся число делится на 11? То число, которое я выписал, конечно, не делится на 11, но если в нем поменять местами 1 и 8, то оно будет делиться на 11.

115. Деление на 37. Мне хотелось бы узнать, делится ли число 49 129 308 213 на 37, и если нет, то чему равен остаток. Как мне это сделать, не выполняя деления? Оказывается, что при умелом подходе ответ на интересующий меня вопрос можно получить за несколько секунд.

116. Еще раз о делении на 37. Вот интересное развитие предыдущей головоломки. Девять цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 выписаны в случайном порядке, например 412 539 768. Какова вероятность того, что получившееся число делится без остатка на 37?

117. Задача о десяти цифрах. Расставьте все десять цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 в таком порядке, чтобы получившееся число делилось на все числа от 2 до 18. Если, например, разместить цифры в последовательности 1 274 953 680, то получившееся число будет делиться на 2, 3, 4, 5 и т. д. до 16, но не разделится на 17.

118. Тройки и семерки. Какое наименьшее число обладает тем свойством, что оно записывается только с помощью цифр 3 и 7 и что как оно, так и сумма его цифр делятся на 3 и 7? Например, 7 733 733 делится без остатка на 3 и на 7, но сумма его цифр (33) на 3 делится, а на 7 нет, поэтому оно не может служить решением задачи.

119. Извлечение корня. Однажды в разговоре с профессором Саймоном Грейтхедом, человеком весьма эксцентричного склада ума, я как-то упомянул об извлечении кубического корня.

— Поразительно, — сказал профессор, — какое невежество проявляют люди в столь простом вопросе! Создается впечатление, что в извлечении корней со времен, когда единственными корнями были корни, извлекаемые с помощью лопат, вил и садового совка, мир никуда не продвинулся. Например, никто, кроме меня, до сих пор не обнаружил, что для извлечения кубического корня из какого-нибудь числа достаточно лишь найти сумму его цифр.

Извлечь кубический корень из 1 может всякий. Хотя этот пример и подкрепляет высказанное мной утверждение, он слишком тривиален, и мы его рассматривать не будем. Предположим, что требуется извлечь кубический корень из 512. Находим сумму цифр, равную 8, и ответ получен!

Я высказал предположение, что здесь мы имеем дело с исключительным случаем.

— Вовсе нет, — возразил профессор, — возьмем наугад другое число, скажем 4913. Сумма его цифр равна 17, а 17 в кубе равно 4913.

Я не осмелился возражать ученому, но попрошу читателей найти все остальные числа, у которых кубический корень совпадает с суммой цифр. Этих чисел так мало, что их буквально можно пересчитать по пальцам.

120. Необычный пример на деление. Вот довольно любопытная головоломка. Найдите наименьшее число, которое при последовательном делении на 45, 454, 4545 и 45 454 даст в остатке соответственно 4, 45, 454 и 4545. Быть может, найти такое число нелегко, зато, решая задачу, вы освежите свои познания в арифметике.

121. Три различные цифры. Профессор предложил студентам найти все числа, составленные из трех различных цифр, каждое из которых делится на квадрат суммы своих цифр. Так, в случае числа 112 сумма цифр равна 4, квадрат ее равен 16 и 112 делится на 16, но, к несчастью, 112 составлено не из трех различных цифр.

Сумеете ли вы найти все возможные решения задачи?

122. Цифры и кубы. Профессор Рэкбрейн попросил недавно своих молодых друзей найти все пятизначные квадраты, у которых сумма чисел, образованных двумя первыми и двумя последними цифрами, равна точному кубу. Так, если мы возьмем квадрат числа 141, равный 19 881, и прибавим 81 к 19, то получим 100 — число, не являющееся, к сожалению, точным кубом.

Сколько всего существует решений?

123. В обратном порядке. Какое девятизначное число, будучи умноженным на 123 456 789, даст произведение, у которого в девяти младших разрядах будут стоять цифры 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 (именно в таком порядке)?

124. Прогрессия. «Если из девяти цифр, — сказал профессор Рэкбрейн, — вы составите три числа 147, 258, 369, то обнаружите, что любое последующее отличается от предыдущего на 111 и что, следовательно, получилась арифметическая прогрессия».

Не смогли бы вы переставить девять цифр четырьмя способами так, чтобы в каждом случае три числа образовывали арифметическую прогрессию, а среднее число оставалось бы одним и тем же?