Пятьсот двадцать головоломок

125. Составление целых чисел. Может ли читатель назвать сумму всех целых чисел, составленных из четырех цифр 1, 2, 3, 4? Другими словами, требуется вычислить сумму таких чисел, как 1234, 1423, 4312 и т. д. Разумеется, можно было бы выписать подряд все такие числа и затем сложить их. Однако интереснее отыскать простое правило, с помощью которого можно найти суммы чисел, составленных из четырех различных произвольно выбранных (отличных от нуля) цифр.

126. Суммирование чисел. Профессор Рэкбрейн хотел бы знать, чему равна сумма всех чисел, которые можно составить из девяти цифр (0 исключен), используя каждую цифру в каждом числе один и только один раз.

127. Цифровое квадрирование. Возьмите девять фишек с цифрами соответственно от 1 до 9 и расположите их в ряд, как показано на рисунке. Требуется, переставив пары фишек как можно меньшее число раз, расположить их в таком порядке, чтобы цифры образовали квадрат целого числа. В качестве примера приведем следующие шесть перестановок: (7 и 8 меняются местами), , , , , . В результате получается число 139 854 276, равное квадрату числа 11 826. Однако задачу можно решить с помощью гораздо меньшего числа перестановок.

128. Цифры и квадраты. Одна из небольших рождественских головоломок профессора Рэкбрейна гласит следующее: чему равны наименьший и наибольший квадраты, содержащие все десять цифр от 0 до 9, причем каждую цифру — лишь по одному разу?

129. Цифровые квадраты. Очень хорошая головоломка состоит в том, чтобы найти число, которое вместе со своим квадратом содержало бы по одному и только одному разу каждую из девяти цифр, исключая нуль. Так, если бы квадрат числа 378 равнялся 152 694, то это число нам бы подошло. Но на самом деле его квадрат равен 142 884, что дает нам две четверки и три восьмерки, а 6, 5 и 9 отсутствуют.

Существует только два решения; их можно найти за четверть часа, если действовать правильно.

130. Отыскание квадрата. Даны шесть чисел: 4 784 887, 2 494 651, 8 595 087, 1 385 287, 9 042 451, 9 406 087. Известно, что три из них в сумме дают полный квадрат. Что это за числа?

Читатель, вероятно, не увидит другого пути, кроме утомительного метода проб и ошибок, и все же существует прямое решение задачи, использующее лишь простые арифметические соображения и не требующее извлечения квадратных корней.

131. Жонглирование цифрами. Составьте из десяти цифр три простейших арифметических выражения, используя три из четырех арифметических действий — сложения, вычитания, умножения и деления. (В записи выражений разрешается применять лишь знаки трех выбранных арифметических действий.) Поясним сказанное на примере. Рассмотрим три арифметических выражения

Этот пример не может служить решением задачи, поскольку цифра 2 пропущена, а цифра 3 повторяется дважды.

132. Равные дроби. Можете ли вы составить три самые обычные дроби (скажем, что-нибудь вроде ½, ⅓, ¼ или ), используя каждую из девяти цифр по одному и только одному разу? Дроби можно образовывать одним из следующих способов:

Существует только пять решений, но пятое содержит некую «изюминку» — тонкость, которая, быть может, ускользнет от читателя.

133. Цифры и простые числа. Используя каждую из девяти цифр один и только один раз, составить простые числа (числа, которые не делятся без остатка ни на какое целое число, кроме 1 и самих себя), сумма которых была бы наименьшей.

Приведем пример. Четыре простых числа содержат все девять цифр по одному и только одному разу, их сумма равна 450, однако ее можно существенно уменьшить. Это совсем простая головоломка.

134. Еще раз о цифровых квадратах. Из девяти цифр многими различными способами можно составить квадрат таким образом, чтобы числа, стоящие в первой и второй строках, в сумме давали третью строку. Мы приводим три примера, в которых обнаруживается еще одна закономерность: разность между второй суммой (819) и первой (657) равна разности между третьей суммой (981) и второй (819). Составьте восемь квадратов (каждый из девяти цифр) так, чтобы разность между соседними суммами была постоянной. Разумеется, эта разность будет отличаться от 162.

135. Девять цифр. Если 32 547 891 умножить на 6, использовав каждую из девяти цифр один и только один раз, то получится произведение, равное 195 287 346 (также содержащее девять цифр по одному и только одному разу). Не могли бы вы найти другое число, обладающее тем же свойством при умножении на 6? Помните, что каждая из девяти цифр должна появиться один и только один раз как в сомножителях, так и в произведении.

136. Двадцать четыре. В одной книге было написано: «Запишите число 24 с помощью трех одинаковых цифр, отличных от 8. (Существуют два решения этой задачи.)»