Пятьсот двадцать головоломок

168. Еще одна головоломка с номерами домов. Браун живет на улице, на которой больше 20, но меньше 500 домов (все дома перенумерованы по порядку: 1, 2, 3 и т. д.). Браун обнаружил, что все номера от первого до его собственного включительно в сумме дают половину суммы всех номеров, от первого до последнего включительно.

Каков номер его дома?

169. Третья головоломка с номерами домов. На одной длинной улице Брюсселя дома перенумерованы по одну сторону четными, а по другую нечетными числами (способ нумерации, принятый во многих странах).

1. Если человек живет на нечетной стороне улицы и сумма всех номеров по одну сторону от его дома совпадает с суммой номеров по другую, то сколько домов на этой стороне улицы и каков номер его дома?

2. Если человек живет на четной стороне улицы и сумма всех номеров по одну сторону от его дома совпадает с суммой номеров по другую, то сколько домов на этой стороне улицы и каков номер его дома?

Мы предполагаем, что на каждой стороне улицы расположено больше 50 и меньше 500 домов.

170. Исправьте ошибку. Хильде Вильсон потребовалось умножить некоторое число на 409, но она сделала ошибку, которую часто допускают дети, начинающие изучать арифметику: первую цифру произведения на 4 она поместила не под третьей цифрой справа, как положено, а под второй. (Мы все так делали в детстве, когда в сомножителе встречался 0.) В результате этой маленькой ошибки Хильда получила число, отличающееся ни много, ни мало на 328 320 от правильного ответа.

Какое число Хильда умножала на 409?

171. Семнадцать лошадей.

— Я думаю, что вы знаете эту старую головоломку, — сказал Джеффрис. — Один фермер по завещанию оставил трем своим сыновьям 17 лошадей, которые нужно было разделить между ними в следующих пропорциях: старшему ½, среднему ⅓ и младшему . Как разделить лошадей?

— Да, по-моему, мы все ее знаем, — ответил Робинсон, — но она не имеет решения. Тот ответ, который всегда дают, ошибочен.

— Вы имеете в виду, — вступил в разговор Проджерс, — то решение, где сыновья занимают еще одну лошадь у соседа, чтобы получилось 18, а затем берут соответственно по 9, 6 и 2 лошади и возвращают занятую лошадь соседу?

— Вот именно, — сказал Робинсон, — причем каждый сын получает больше, чем ему полагалось.

— Стоп! — воскликнул Бенсон. — Вы не правы. Ведь если бы каждый сын получил больше, чем ему причиталось, то всего лошадей стало бы больше 17, но 9, 6 и 2 дают в сумме ровно 17.

— На первый взгляд это действительно кажется странным, — заметил Робинсон, — но все дело в том, что если бы каждый сын получил положенную ему долю наследства, то всего им досталось бы меньше 17 лошадей. Фактически еще осталась бы нетронутая часть. Задача и в самом деле не имеет решения.

— А вот здесь-то вы все и ошибаетесь, — заметил Джеффрис. — Условия завещания можно выполнить совершенно точно, не покалечив ни одной лошади.

К общему изумлению, он показал, как это сделать. Как поделить лошадей в строгом соответствии с завещанием?

172. Равные периметры. Рациональные прямоугольные треугольники занимали воображение людей еще во времена Пифагора, задолго до нашей эры. Каждому школьнику известно, что стороны таких треугольников, выраженные обычно в целых числах, обладают тем свойством, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Так, на рисунке в случае А квадрат 30 (900) плюс квадрат 40 (1600) равен квадрату 50 (2500); то же верно и в случаях В, С. Легко проверить, что у данных трех треугольников одинаковые периметры. Сумма длин всех сторон равна в каждом случае 120.

Можете ли вы найти 6 рациональных прямоугольных треугольников с одинаковым (наименьшим из возможных) периметром? Эта задача не столь трудна, как головоломка «Четыре принца» из моей книги «Кентерберийские головоломки»[11], где требовалось найти четыре таких треугольника равной площади.

173. Потомство коровы. «Допустим, — сказал мой приятель фермер Ходж, — что моя корова в двухлетнем возрасте даст в приплод телку. Допустим также, что она будет приносить по телке каждый год и что каждая из телок, достигнув двухлетнего возраста, последует примеру матери и будет ежегодно приносить по телке и т. д. Скажи-ка теперь, каково будет потомство этой коровы через 25 лет?»

Из пояснений Ходжа явствовало, что время он отсчитывал со дня рождения самой первой коровы и что за все 25 лет у него не будет ни своей говядины, ни своей телятины.

174. Сумма, равная произведению.

— Подумать только, — сказал мне один человек, — существуют два числа, сумма которых равна их произведению; то есть получится одно и то же, сложите ли вы их или перемножите между собой. Это 2 и 2, так как их сумма и произведение равны 4.

Далее он допустил грубую ошибку, сказав:

— Я обнаружил, что это единственные два числа, обладающие таким свойством.