Пятьсот двадцать головоломок

249. Пусть номер ящика равен n. Тогда в нем будет 2n- 1 перегородок в одном направлении и 2n- 3 в другом, что даст 4n² - 4n ячеек и 4n - 4 перегородок. Так, в двенадцатом ящике имеются 23 и 21 перегородок (всего 44) и 528 ячеек. Это правило годится для всех ящиков, кроме второго, где может быть любое количество перегородок в одном направлении и одна перегородка в другом. Так что 1 и 1 подойдут (единственная перегородка не годится, поскольку такое «перегораживание» было бы нелепостью). Таким образом, всего получается 262 перегородки и 2284 ячейки (а не 264 и 2288).

250. Если внутренний диаметр звена умножить на число звеньев и прибавить удвоенную толщину железного прута, то получится длина цепи. Каждое звено, присоединенное к цепи, теряет в своей длине удвоенную толщину прута. Внутренний диаметр равен 2⅓ см. Если мы умножим его на 9 и прибавим 1, то получим ровно 22 см, а если мы умножим его на 15 и прибавим 1, то как раз и получится 36 см. Следовательно, два куска цепи содержат соответственно по 9 и 15 звеньев.

251. Если брат отвечал Доре «чет», то десятицентовая монета находилась в правом кармане, а пятицентовая в левом. Если же он говорил «нечет», то пятицентовая монета лежала в правом, а десятицентовая в левом кармане.

252. Первоначально в каждой сахарнице было по 36 кусков, а после того, как в каждую чашку положили по 2 () куска, в чашках стало по 6, а в сахарницах — по 18 кусков. Разность как раз и равна 12.

253. Всего 51 секция, в каждой секции по 23 целые колонки. Итого получалось 1173 целые колонки и 50 пар половинок, что составляло в совокупности 1223 колонки, как и требовалось по условию задачи.

254. Пусть длина AB 10 см. Из точки B восставим к AB перпендикуляр BC, равный половине AB. Соединим точки A и C отрезком прямой и продолжим его за точку C так, чтобы CD = CB. Проведем отрезок BD. Это и есть искомый радиус окружности. Если начертить эту окружность и вписать в нее правильный пятиугольник, то стороны последнего будут точно равны 10 см.

255. Чтобы отметить вершины квадрата с помощью одного циркуля, сначала рисуют круг. Затем, зафиксировав раствор циркуля и начав с любой произвольно взятой на окружности точки A, отмечают точки B, C и D. Из точек A и D как из центров раствором AC описывают две дуги, пересекающиеся в точке E. Расстояние EO равно стороне искомого квадрата. Следовательно, если мы сделаем из A засечки F и G радиусом OE, то A, F, D, G и будут искомыми вершинами квадрата.

256. Если провести 15 прямых так, как показано на рисунке, получится ровно 100 квадратов. У сорока из них сторона равна AB, у двадцати — AC, у восемнадцати — AD, у десяти — AE и у четырех — AF. С помощью 15 прямых можно образовать даже 112 квадратов, но от нас требовалось точно 100. С помощью 14 прямых вам не удастся построить более 91 квадрата.

В общем случае с помощью n прямых можно образовать (n - 3)(n - 1)(n + 1)/24 квадратов, если n нечетно, и (n - 2)n(n - 1)/24 квадратов, если n четно.

Если мы имеем m прямых, перпендикулярных другим n прямым, причем m меньше n, то число квадратов равно

257. Правило заключается в следующем. Если четыре стороны образуют арифметическую прогрессию, то наибольшая площадь равна квадратному корню из произведения всех сторон. Квадратный корень из 70 × 80 × 90 × 100 равен 7099 м². Это и есть верный ответ.

258. Площадь дорожки равна точно 66⅔ м², что станет совершенно очевидным, если вы представите себе маленький треугольный кусок, отрезанный снизу и перенесенный в правый верхний угол (см. рисунок).

Докажем наше утверждение. Площадь всего сада равна 55 × 40 = 2200 м². Но (53⅓ × 40) + 66⅔ также равно 2200. Кроме того, сумма чисел ² и 40² должна равняться ², что и выполняется в действительности.

Общее решение таково. Обозначим ширину прямоугольника через B, длину через L, ширину дорожки через C и длину дорожки через x. Тогда

В нашем случае x = 66⅔; следовательно, основание прямоугольного треугольника с гипотенузой 66⅔ м и катетом, равным 40 м, составляет 53⅓ м.

259. Разделим стороны треугольника точками A, B и E пополам. Если провести AB и опустить перпендикуляры DA и CB, то ABCD будет наибольшим возможным прямоугольником, а его площадь составит половину площади треугольника. Два других решения FEAG и KEBH подошли бы нам (у обоих та же самая площадь), если бы они не захватывали дерево. Это правило можно приложить к любому остроугольному треугольнику, а в случае прямоугольного треугольника получатся только два решения.