Пифагор и его школа

По свидетельству Боэция (18 А 14), к найденным Пифагором трем интервалам Гиппас добавил еще два: двойную октаву (4: 1) и дуодециму, состоящую из октавы и квинты (3: 1). Именно эти пять интервалов, как утверждал Клавдий Птолемей, пифагорейская теория признавала созвучными, оставляя в стороне другие, например, ундециму (8: 3). Поскольку Архит признавал еще и терции — большую (5: 4) и уменьшенную малую (7:6) — ясно, что у Птолемея речь идет о пифагорейской теории музыки V в. до н. э.

Ксенократ, как мы помним, говорил, что Пифагор исследовал то, при каких обстоятельствах интервалы бывают созвучными. Какие же и это обстоятельства и что представляла собой раннепифагорейская теория музыки?

На основании свидетельств Птолемея и более ранних источников ее можно представить следующим образом^{136}. Тона одинакового напряжения сравниваются в ней с равными числами, а разного напряжения — с неравными. Все числа при этом должны быть целыми. Тона разного напряжения делятся на симфонные (созвучные) и диафонные, которые хотя и признаются музыкальными, к созвучным не. относятся. Симфонные тона сливаются вместе при одновременном появлении, а диафонные — нет. С симфонными интервалами сравниваются числа, состоящие друг с другом в двух типах отношений: эпиморных и кратных. Эпиморным называется отношение чисел а и b, в котором а равно b плюс часть b: a=b+b/n, следовательно, а: b= (n+1): п.

Этому соотношению удовлетворяют, например, кварта (4:3) и квинта (3:2). Кратным же отношением является такое, при котором b является частью а: a=nb, следовательно, а: b=n: 1.

Под это соотношение, которое пифагорейцы признавали наилучшим, подходит, например, октаву (2:1) или дуодецима; (3: 1). В. то же время ундецима (8: 3) не является созвучным интервалом, так как ее отношение не является ни эпиморным, ни кратным.

При разделении интервалов использовались арифметическое и гармоническое средние, т. е. интервалы делились не на равные части. Например, октава делилась на квинту и кварту, разница между которыми составляла целый тон. Геометрическое же среднее в музыке не применялось, из-за того что оно могло привести к иррациональным величинам (a=*bc).

Из величин, входящих в «музыкальную» пропорцию, можно было установить числовые характеристики более мелких интервалов. Как уже отмечалось, разница квинты и, кварты давала целый; тон (9: 6–12: 9=9: 8). В свою очередь, вычитая из. кварты два тона, мы подучаем малый полутон (12: 9–2 (9: 8) = 256: 243), а вычтя его из целого тона — большой полутон, так называемую апотеме. В одном из фрагментов Филолая (44 В 6), представлен именно такой процесс последовательного вычитания.

Итак, мы видим, что пифагорейская теория музыки состояла из двух компонентов. Первый из них, эмпирический, объяснял разницу в высоте звука, основываясь на движении вибрирующей струны Монохорда (или какого-либо другого инструмента). как на наблюдаемом физическом явлении. Второй, математический, выражал чувственно воспринимаемые музыкальные тона и интервалы через числа, но только целые рациональные и находящиеся друг с другом в определенном отношении. Математическая теория накладывала некоторые ограничения — на эмпирический материал, но никак нельзя сказать, что пифагорейцы пренебрегали им, основываясь исключительно на числах.

Между тем именно в этом их позже, обвинял Аристоксен, утверждая, что. пифагорейцы «вносят в рассмотрение вещей совершенно чуждые точки зрения и отклоняют чувственные восприятия как неточные. Для этого они придумывают, чисто умственные причины и утверждают, что высота или низкость тона основывается на определенных соотношениях между числами и скоростями. Все это рассуждение совершенно чуждо существу дела и совершенно противоположно явлениям» (Harm. I, 32–33).

Нетрудно заметить, что Аристоксен отрицал не только математическую, но и физическую трактовку звука пифагорейцами, стремясь основывать свой анализ лишь на субъективном восприятии тонов человеческим слухом и его способности ощущать разницу в высоте звука^{137}. Нет необходимости доказывать, что при всем несовершенстве пифагорейской теории с научной точки зрения она, безусловно, гораздо более привлекательна, чем та, которую предлагал Аристоксен. Пифагорейская теория легко могла быть развита таким образом, чтобы включать в себя большее количество эмпирических данных, что и было впоследствии сделано Птолемеем. Полагаясь же исключительно на чувственное восприятие, невозможно создать, никакой физической теории — ведь она, как правило, предлагает именно то, что противоречит непосредственному восприятию.