Письма с Дальнего Востока и Соловков

г. Загорск (б. Сергиев)

Московской области

Анне Михайловне Флоренской

Пионерская, 19

1936. IX.20—21. Соловки. № 74. Дорогой Васюшка, сегодня 20–го сентября, я наконец‑то получил от вас известия (№ 25), но такие запоздалые, что они мало меня успокоили (твое—от 23 августа, мамино — от 31–го). Единственное успокоительное— это возвращение Киры и Мика здоровыми. Чтобы не забыть, начну с песка. Мама писала, что мои вещи от П. Н. получены. Если это так, то среди них ты найдешь корректурные гранки статьи о песке, правда без чертежей и с пропуском утерянных страниц, но начало, т. е. изложение сути дела, там изложено. Постараюсь, однако, вспомнить это дело и разсказать тебе его здесь же. — Что значит измерить форму? Это значит сравнить данную форму с какой‑то иной, сравнит, простой или по крайней мере устойчивой, воспроизводимой, которая принимается за стандарт («единицу измерения»), и численно выразить степень отстутления данной формы от стандартной. Угловатость противополагается округленности. Чт»6ы оценить угловатость (или с<ответственно округленность форяы.

Надо дать меру ее отступленш от стандарта округленности, т. е. от наибольшей мыслимой округіен- ности. На плоскости это бщет окружность. Сравнение ведем элемент за элементом, а потом совокупность всех отступлений! интеграл) относим соответственно характеристике стандарта. Практически элемент за элементом тросмотреть можно лишь когда изучаемая форма дана уравнением. Поэтому для эмпирических форм просмотр делается на конечном числе элементов, том, которое для практической задачи может считаться достаточным приближением. Для песчинок 24 элементов достаточно. Итак, делим окружность и изучаемую более или менее округлую форму на 24 сектора, проведя радиусы–векторы из точки, находящейся в центре окружности и по возможности в середине обсуждаемой формы. Теперь смотрим, насколько отступает каждый из элементов обсуждаемого контура от соответствующего ему элемента окружности (в данной степени приближения, т. е. собственно многоугольника). Для этого измеряем угол между стороною многоугольника и хордою разсматриваемого элемента контура (контур с тою же степенью приближения заменяем вписанным неправильным многоугольником). Этот угол для элемента i-того назовем а,·, причем берем абс. значение угла, не обращая внимания на знак. Найдя для всех п элементов углы отклонения от элементов приближенной окружности, т. е. все а_i складываем их

есть полное отклонение разсматриваемого контура от окружности с точностью, соответствующей числу делений п. Величина А зависит от угловатости контура, т. е. от степени его отклонения на окружности. Ho она (А) зависит также от числа п. Поэтому, или надо условиться раз навсегда брать п одно и то же во всех сл; учаях,

или же исключить п. Понятно, последнее и удобнее и логичнее. Чтобы исключить п, будем относить А к наибольшей мыслимой при данном п угловатости. Очевидно, наиболее угловатой будет многоугольник звездчатый, у которого п вершин поочередно то на окружности, то в центре, т. е. стороны попарно сливаются на радиусах. Какова же угловатость В этого многоугольника? Она очевидно равна

где B_ii угол между стороною приближенной окружности и радиусом к вершине многоугольника.

Т. к. все углы равны между собою, то

Относительная угловатость

Удобно выражать ее в %. Угловатость в %

С возростанием числа п как числитель, так и знаменатель отношения растут, стремясь к оо, тогда как р и q стремятся к истинным значениям угловатости P и Q.