По следам бесконечности

Во времена Зенона в древнегреческой математике и философии со всей остротой встал вопрос о свойствах пространства и времени, теснейшим образом связанный с представлениями о конечном и бесконечном. Вопрос ставился так: можно ли и до каких пор осуществлять процесс делимости тела, пространства и времени? Завершится ли когда-либо такой процесс или он будет продолжаться беспредельно?

Одна из первых концепций бесконечности была выдвинута выдающимся философом-материалистом Анаксагором (около 500 г. — 428 г. до н. э.), известным своей непримиримой борьбой с мистикой и религией.

Началом всего сущего Анаксагор считал «гомеомерии» — бесконечное число элементов материи. Их сочетания дают все многообразие вещей.

Процесс деления тела бесконечен, утверждал он, и потому нет смысла говорить о его конечном результате. Следовательно, не существует наименьших неделимых частиц. Число частиц, из которых состоит данная вещь, всегда можно увеличить.

«И в малом ведь нет наименьшего, по всегда есть меньшее. Ибо бытие не может разрешиться в небытие, но и в отношении к большому есть большее. И оно равно малому по количеству. Сама же по себе каждая вещь и велика и мала».

Следовательно, бесконечное существует в обе стороны. Это была первая математическая формулировка понятия бесконечно большого и бесконечно малого как возможности увеличения сверх любой заданной величины и возможности неограниченного деления.

Но если пространственные элементы и промежутки времени можно делить без конца, то пространство и время непрерывны.

Наряду с концепцией Анаксагора существовала и другая, противоположная концепция, одним из родоначальников которой был Демокрит (около 460 г. — 370 г. до н. э.), — учение о «неделимых», мельчайших частях линий, поверхностей и тел. Демокрит признавал бесконечность Вселенной и числа атомов во Вселенной. Но считал, что тело нельзя делить бесконечно, а лишь до неделимых атомов. С помощью этой теории Демокриту удалось решить несколько очень трудных математических задач — например, найти выражение для объема пирамиды.

Но поскольку в распоряжении древних греков не было никаких экспериментальных фактов, по которым можно было бы судить о действительных свойствах реального пространства и реального времени, споры между сторонниками Анаксагора и Демокрита были в то время довольно беспредметными.

Величайшая заслуга Зенона состоит в том, что он впервые показал: и та и другая концепция ведут к глубоким противоречиям и парадоксам.

Парадокс — утверждение, которое непосредственно вытекает из привычных представлений или существующих научных теорий, но тем не менее вступает в противоречие о ними самими.

Именно такие парадоксальные следствия учения о бесконечной делимости пространства и обнаружил Зенон…Быстроногий Ахиллес хочет догнать медленно ползущую черепаху. Но пока он пробежит разделяющее их расстояние, черепаха тоже проползет немного вперед. И Ахиллесу придется теперь преодолевать это дополнительное расстояние. Но пока он сделает ото, черепаха вновь уйдет вперед — и так до бесконечности. Значит, несмотря на то, что Ахиллес передвигается намного быстрее черепахи, он все равно никогда не может ее догнать. Или, другими словами, будет догонять ее бесконечно длительное время.

Этим парадоксом Зенон показал, что предположение о бесконечной делимости пространства приводит к противоречию с реальным фактом движения.

Вместе с этой апорией Зенон сформулировал и еще одну — под названием «Дихотомия». Если черепаха после сигнала к старту не сдвинется с места, Ахиллес все равно ее не догонит. Ведь прежде чем преодолеть все расстояние, он должен преодолеть его четверть. И так далее… И поскольку процесс деления пополам никогда не может окончиться, Ахиллес вообще не сдвинется с места.

Отсюда следовало, что в природе нет и не может быть никакого движения.

Парадоксы Зенона привели древнегреческих мыслителей в настоящее смятение. Однако все попытки каким-либо способом их опровергнуть заканчивались неудачей.

До нас дошел рассказ о том, как философ Диоген, когда его познакомили с апориями Зенона, ни слова не говоря, поднялся с места и начал расхаживать взад и вперед.

Много веков спустя остроумию Диогена отдал должное Александр Сергеевич Пушкин:

Движенья нет, сказал мудрец брадатый.
Другой смолчал и стал пред ним ходить…

Казалось бы, апории Зенона тем самым были опровергнуты с помощью самого могущественного аргумента — опыта.

Однако проблема была, гораздо сложнее, чем это может показаться на первый взгляд.

Не спасло положения и атомистическое учение Демокрита, не допускающее бесконечного делания. Правда, существование «неделимых» устраняло парадокс Ахиллесу и черепахи. Как только в процессе деления мы дошли бы до «неделимых», все стало бы на свои места — Ахиллес догнал бы черепаху.

Однако в двух других апориях Зенон показал, что и предположение о существовании неделимых элементов пространства и времени также исключает возможность движения. Одна из этих апорий называется «Стрела».