По следам бесконечности

Аристотель основал собственную школу — Ликей (отсюда пошло наше слово «лицей»). Ежедневно были две «прогулки», то есть две лекции. Утренняя лекция, называемая ахроматической, предназначалась для подготовленных учеников и посвящалась абстрактным частям науки. Вечерняя — читалась для всех слушателей и требовала минимума предварительных знаний. После ахроматической лекции слушатели горячо спорили, прохаживаясь по прохладным тенистым платановым аллеям рощи Аполлона Ликейского.

Аристотель отличался поразительной книжной ученостью и собрал обширную библиотеку. Он побуждал своих учеников в Ликее изучать и систематизировать более раннюю литературу и сам обычно предпосылал новым исследованиям обзоры того, что по этому вопросу уже было написано.

Лекции в Ликее помогали Аристотелю связать воедино проблемы, над которыми он до этого долго размышлял. Идеи и доводы укладывались в стройную систему, на ходу рождались новые недостающие аргументы.

Аристотель понимал, что наука о природе не может отказаться от понятия бесконечного, и не раз повторял своим ученикам: «Исследуя природу, надо исследовать вопрос о бесконечности».

— Рассмотрение бесконечного, — говорил Аристотель, — имеет свои трудности, так как много невозможного следует и за отрицанием его существования, и за признанием.

И еще:

— Неразумно приписывать материальным элементам отсутствие частей. Учащие о неделимых телах неизменно впадают в конфликт с математическими науками.

— Но что же такое бесконечность? — спрашивал кто-нибудь из учеников.

— Бесконечность не следует понимать как определенный предмет, — пояснял Аристотель, — как человека или дома, а в том смысле, как, скажем, день или состязание, которые все время находятся в возникновении и уничтожении. — И чтобы сделать свою мысль более ясной для окружающих, добавлял — Бесконечность — то, что не может быть пройдено. И это не простое повторение одного и того же, а процесс, который все время приводит к новому и новому.

— Значит, пространство и время делимы бесконечно?

— Если пространство и время прерывны, — вслух рассуждал Аристотель, — то движение должно происходить скачками. Но между двумя атомами пространства нет пространства, а между двумя атомами времени нет времени. У отрезка или интервала времени не может быть пробелов. А непрерывное есть то, что всегда делимо на всегда делимые части.

— Значит ли это, — снова следовал вопрос, — что и любое тело можно делить без конца?

— В отношении величины наименьшего числа нет, так как всякая линия делима. Конечное же тело не делимо до бесконечности.

— Надо ли в таком случае понимать, что бесконечность на самом деле не существует? — не унимался вопрошающий.

— В самой природе нет бесконечного, — убежденно отмечал Аристотель. — Бесконечность — абстракция, которую математик применяет, познавая действительность. Но в то же время математические принципы — выше нашего опыта, и опыт не может вносить в них какие бы то ни было изменения.

Аристотель рассматривал бесконечность как процесс, состоящий из последовательных шагов, где за каждым очередным шагом имеется следующий и пет последнего. Например: бесконечная последовательность натуральных чисел, которую можно получить путем последовательного прибавления единицы. Подобную бесконечность Аристотель называл потенциальной, которую он понимал, следовательно, как осуществимость сколь угодно большого, по конечного числа объектов.

Актуальная же бесконечность предполагает возможность завершения бесконечного процесса. Другими словами, актуально бесконечное множество является завершенным объектом — «ставшим».

Аристотель утверждал, что математики вполне могут обойтись потенциальной бесконечностью. Актуальную бесконечность следует отбросить как ненужную.

Будучи одним из величайших мыслителей Древней Греции, достигшим высот теоретической мысли, Аристотель в то же время проводил непроходимую грань между прикладными задачами и научной теорией. В частности, он утверждал, что математика должна заниматься только чисто теоретическими операциями, а реальные вещи ее совершенно не должны интересовать.

Впрочем, такую же позицию занимали и другие древнегреческие мыслители. Например, в знаменитых «Началах» Эвклида, которые и по сей день считаются фундаментом геометрии, мы не найдем ни одного примера вычисления площади какой-либо реальной поверхности.

Архимед был первым среди древнегреческих ученых, кто применил теоретические знаний, в частности понятие бесконечности для решения практических задач. Он первым вычислил площадь круга как предел площади, вписанного в окружность правильного многоугольника, когда число его сторон неограниченно возрастает, то есть стремится к бесконечности.

В дальнейшем Архимед усовершенствовал свой метод, использовав его не только для вычислений, но и для исследования свойств различных фигур и тел. Он разлагал любое тело (например, шар или конус) на чрезвычайно тонкие кружки, доказывал то или иное утверждение для одного из этих кружков и отсюда делал вывод, что подобным же свойством обладает и все тело.