По следам бесконечности

…Стрела выпущена из лука. Если стрела летит — это значит, что она последовательно проходит точку за точкой своего пути. Что значит: проходит через точку? Значит, находится в ней какое-то время, то есть пребывает в состоянии покоя. Следовательно, движение стрелы есть совокупность состояний покоя. Следовательно, движение есть покой.

Таким образом, получалось, что обе противоположные концепции — и бесконечной делимости (то есть непрерывности) пространства и времени и существования неделимых элементов (то есть дискретности пространства и времени) — в равной степени ведут в тупик.

А вскоре обнаружилось к тому же, что метод «неделимых» Демокрита сталкивается и с другими непреодолимыми трудностями. Если атом имеет конечную величину, то разве можно утверждать, что конечная величина, какая бы она ни была, не может быть вновь разделена?

Возник, например, и такой вопрос: как разделить круг пополам? Если существуют «неделимые», то центр круга будет принадлежать только одной половине.

Окончательную катастрофу учение Демокрита потерпело тогда, когда были обнаружены несоизмеримые отрезки. Если есть наименьшие «неделимые», то, очевидно, любой отрезок должен состоять из целого их числа. Но оказалось, что между стороной квадрата и его диагональю нет никакой общей меры. То есть не существует такого отрезка, который укладывался бы на диагонали квадрата и его стороне целое число раз.

Результатом всех этих потрясений было то, что и бесконечность и неделимые оказались изгнанными из математики. К слишком сложным противоречиям, сложным даже для изощренных в логических спорах умов греческих мыслителей, вело применение этих понятий.

Бесконечность стали всячески обходить, прибегая для этого ко всевозможным логическим ухищрениям.

Когда Эвклиду, например, потребовалось сформулировать свою знаменитую теорему о множестве простых чисел, он вышел из затруднения следующим образом; «простых чисел существует больше всякого предложенного количества простых чисел».

И все же математики оказались в затруднительном положении — они тем самым лишились возможности вычислять площади и объемы. Надо было найти новый способ решения этой задачи без помощи бесконечности.

Такой способ — метод черпков — был разработан Евдоксом и Архимедом. Впоследствии, в XVII веке, он получил название метода исчерпывания.

В основе метода черпков лежала аксиома Евдокса— Архимеда: если из какой-либо величины отнять ее половину (или больше), а затем с каждым остатком поступать так же, то через конечное число шагов можно получить величину меньше любой заданной.

Однако и метод черпков, увы, обладал весьма существенным недостатком. Его можно было применять только в тех случаях, когда уже было известно, что именно требуется доказать. А для этого надо было воспользоваться «неделимыми» Демокрита…

Апории Зенона обнаружили и еще одну трудность. В ту пору в древнегреческой математике было распространено представление о том, что конечная величина есть совокупность бесконечного множества непротяженных точек. В частности, такой концепции, видимо, придерживались ранние пифагорейцы. Частями беспредельного для них были не материальные атомы, а геометрические точки.

Но если тело представлено бесконечной совокупностью неделимых точек, не имеющих измерений, то их сумма равна нулю. А это значит, что тело, имеющее измерение, лишено измерения.

Если же неделимые точки имеют измерение, то тело конечной величины оказывается бесконечно большим.

От Зенона до вакуума

Много столетий спустя известный исследователь истории математики Д. Стройк написал, что парадоксы Зенона вызвали такое волнение, что и сейчас можно наблюдать некоторую рябь.

При этом различные ученые по-разному относились и к самому Зенону, и к его апориям.

Так, известный французский математик Поль Леви писал о парадоксе «Ахиллес»:

«Признаюсь, я никогда не понимал, как люди, в других отношениях вполне разумные, могут оказаться смущенными этим парадоксом, и ответ, который я только что наметил, есть тот самый ответ, который я дал, когда мне было одиннадцать лет, старшему, рассказавшему мне этот парадокс… „Этот грек был идиотом“. Я знаю теперь, что нужно выражать свои мысли в более вежливой форме и что, может быть, Зенон излагал свои парадоксы только для того, чтобы проверить разумность своих учеников. Но мое удивление перед умами, смущаемыми понятиями такого рода, осталось тем же».

А вот мнение известного специалиста по теории множеств А. Френкеля:

«Пропасть между дискретным и непрерывным опять является слабым местом, вечной точкой наименьшего сопротивления, в то же время исключительной научной важности в математике, философии и даже физике».

«Внимательный анализ показывает, — пишет автор одного историко-математического исследования, — что на каждом уровне развития знаний Зенона удается опровергнуть только на 99 процентов. Но один процент всегда остается. И оказывается, что именно в этом одном проценте вся соль — зародыш новых трудностей, новых противоречий и нового знания».