По следам сенсаций

Нетрудно видеть, что число перед квадратными скобками равно 111¹/₉. А содержимое квадратных скобок? Чуть меньше единицы. И оно будет тем ближе к единице, чем больше показатель степени у дроби 0,1, заключённой в круглые скобки. Но приглядитесь к показателю степени — это же число членов ряда плюс единичка!

А теперь начинается самое интересное. Мы переходим от конечного числа членов к бесконечному. Показатель степени при (0,1) неограниченно возрастает. Что же происходит с самой степенью — с одной десятой, умноженной на себя столь многократно, что и вообразить невозможно? Она становится бесконечно малой величиной, стремящейся к нулю. А раз так, то, как написано в вашем учебнике, мы вправе её попросту отбросить, приравняв к нулю. В квадратных скобках остаётся единица. Стало быть, искомый предел равен 111¹/₉.

Но послушаем, что говорит по этому поводу математика (устами академика А. А. Маркова): «Важно заметить, что к совокупности значений бесконечно малой мы не причисляем её предела 0». А французский математик Мансион выражается ещё недвусмысленней: «Пределом переменной мы называем постоянную величину, к которой переменная неопределённо приближается, никогда её не достигая». Но то же самое говорил и Зенон, облекая разве что абстрактные математические символы в яркие образы, навеянные прекрасными античными мифами! Как бы далеко мы ни шли в последовательной интеграции укорачивающихся «движеньиц» Ахилла, мы никогда не получим целиком его пути до встречи с черепахой! Как сказано у Гомера («Илиада» в переводе Гнедича):

Сей убежать, а другой уловить
напрягается тщетно,
Так и герои, ни сей не догонит, ни
тот не уходит…

Подмеченные Зеноном трудности в строгом истолковании понятий «предел» и «непрерывность» можно проиллюстрировать и на более простом примере.

Представьте: у вас в комнате по полу ползёт черепаха. И вдруг — стоп! — животное упёрлось носом в стенку. Путь черепахи — переменная величина, растущая до какого-то предела. Предел — стена. Вернее, точка, ограничивающая траекторию черепахи. Но эта точка не принадлежит к бесконечному множеству точек траектории! Мало того: у черепашьего пути вообще невозможно определить последнюю точку — ту, где обретается черепаший нос в момент удара, ту, что предшествует предельной — точке стены. Здесь мы ненароком коснулись другой апории Зенона. Если первая в истории математики фигурирует под названием «Ахилл», то второй присвоено имя «Дихотомия». Это древнегреческое слово переводится так: «бесконечное деление пополам».

Прежде чем завершить весь путь, черепаха должна пройти его половину, говорил Зенон. Но прежде чем она достигнет середины пути, ей предстоит добраться до метки, рассекающей надвое эту половину. Однако прежде чем оставить за собой четверть пути, нужно пройти его «осьмушку»… Уф! Так можно продолжать до бесконечности. Короче, Зенон делал вывод: движение никогда не начнётся!

Геометрически парадокс можно истолковать так. Мы берём отрезок и делим его напополам. Левую половину опять рассекаем надвое. Левую четвертушку — тоже надвое. Затем левую осьмушку, шестнадцатую долю, одну тридцать вторую и так далее — без конца. Не напоминает ли это погоню Ахилла за черепахой или путешествие черепахи по комнатному тупику? Только сейчас роль стены выполняет черепаший нос. Его кончик — точка покоя. А где начинается первая по счёту точка движения? Ведь мы не в силах найти точку, непосредственно следующую за границей отрезка, — точно так же, как и могли определить точку, непосредственно предшествовавшую предельной в примере с черепахой, натолкнувшейся на препятствие!

Ошибка Зенона, по словам профессора С. А. Богомолова, заключается в том, что из невозможности вообразить начало движения древний философ заключил о невозможности самого движения и достоверного знания о нём. Она вполне объясняется уровнем математических знаний его эпохи и не уменьшает его заслуг. В «Дихотомии» Зенон указал на трудности постигнуть понятия «континуум» (непрерывная последовательность всех точек линии) и «движение». Но математики давно уже привыкли к тому, что рассудок справляется с вопросами, перед которыми бессильна интуиция. И тем не менее мы должны всё-таки признать, что в «Дихотомии» есть некоторый неразрешимый остаток. Речь идёт о бесконечном ряде, не имеющем начала. Это всё та же диалектика бесконечности, которая обретает особую остроту применительно к последовательности моментов времени.

Следующий наш перевал — «Стрела», третья апория. Третья по счёту, но не по важности. Нас ждёт парадокс, который слывёт, по выражению профессора А. А. Богомолова, «апофеозом зеноновской диалектики».

Движенья нет, сказал мудрец брадатый…

Это Пушкин цитирует Зенона. И продолжает: