По следам сенсаций

Представьте, что полёт стрелы, пущенной лучезарным богом в отвратительное чудище, отснят на киноплёнку. И мы остановили демонстрацию фильма где-то посредине, выхватив любой кадр. К этому моменту стрела (лучше говорить об одной из её точек, скажем, центре тяжести) поднялась на определённую высоту. Включим лентопротяжный механизм снова, но ровно настолько, чтобы перед нашими глазами застыл следующий кадр. Центр тяжести, продлив свою трассу на крохотный кусочек, окажется в новой точке, где высота подъёма увеличилась. Обозначим это приращение высоты так: ΔS («дельта эс»). А заодно символом Δt («дельта тэ») обозначим временной интервал между соседними кадрами. Тогда средняя скорость подъёма на этом участочке пути выразится нехитрой дробью. Обратили внимание — скорость-то у нас опять средняя! Да, но чем меньше «дельта тэ», тем ближе значение нашей дроби к истинной скорости в первой точке. Если бы затвор киноаппарата при съёмке щёлкал бы в тысячу раз чаще, то промежуток времени между двумя соседними кадрами сократился бы тоже ровно в тысячу раз. Значение «моментальной» скорости стало бы точнее. И всё же до тех пор, покуда наша долька временной оси будет конечной (не бесконечно малой) величиной, отношение «дельта эс» к «дельта тэ» даёт лишь среднюю скорость между двумя моментами. А что, если сделать «дельта тэ» бесконечно малым? Иными словами, представив вторую точку трассы подвижной, теснить и теснить её к жёстко сидящей первой точке? Тогда «дельта тэ» устремится к нулю. «Дельта эс» тоже. А их отношение? Оно станет всё точнее и точнее передавать значение скорости стрелы в момент времени, запечатлённый на первом кадре. Но лишь в пределе она окажется мгновенной скоростью в тот самый момент. Этот предел отношения ΔS/Δt при Δt, стремящемся к нулю, изображается двухэтажным знаком dS/dt («дэ эс по дэ тэ») и называется производной функцией (в нашем случае производной от пути по времени). dS и dt называются дифференциалами (от латинского слова «разница»).

Приведённое построение можно повторить применительно к любой точке нашей кривой. Впрочем, не обязательно только нашей, а вообще любой кривой. Конечно, вид производной будет неодинаковым для разных кривых, не говоря уже о том, что её значение меняется от точки к точке у каждой кривой. Но теперь мы знаем закон поведения производной: она меняется так же, как и угол наклона касательной к кривой в данной точке. И геометрический смысл произведений — тангенс этого угла. Ведь что такое наши «дельта эс» и «дельта тэ», как не катеты прямоугольного треугольника! Треугольник построен на гипотенузе с теми самыми краевыми точками, которые отмечали положение центра тяжести стрелы на обоих кадрах. Когда же мы начали сдвигать эти соседние точки, гипотенуза слилась с касательной.

Так вот: отыскав производную, мы продифференцировали функцию — в нашем случае уравнение параболы. Зная производную, мы можем найти и первоначальную (первообразную) функцию, то есть проделать обратную операцию — интегрирование. Приёмы дифференцирования и интегрирования едва ли сложнее алгебраических правил. Но нас сейчас волнует не это. Какой смысл таится в дроби? Здесь и числитель и знаменатель вроде бы… нули! Но ведь отношение нулей — абсурд!

Чтобы разобраться в парадоксе, придётся снова совершить экскурс в прошлое и ответить на вопрос: а сумел ли Ньютон отразить «стрелу», пущенную Зеноном? Не постигла ли его детище — анализ бесконечно малых — злая участь Пифона, убиенного Аполлоном Бельведерским?

…24 августа 1624 года в Париже должен был состояться публичный диспут. Но перед самым открытием дискуссии один из её устроителей, де Клав, был арестован. Другому, Виллону, пришлось скрыться. Специально изданный парламентский указ гласил: запретить полемику; в торжественной обстановке перед лицом собравшихся разорвать в клочья заранее объявленные тезисы; всех организаторов выслать в 24 часа за пределы города, лишив их права вообще въезжать в столичный округ; строго-настрого запретить профессорам любое упоминание крамольных тезисов в лекциях.

Всяк, кто устно или печатно нарушит сей рескрипт, подлежит смертной казни…

Четырнадцатый тезис разорванной программы диспута провозглашал атомистическую доктрину. В нём чёрным по белому значилось, что Аристотель, то ли по невежеству, то ли по злому умыслу, высмеял учение, согласно которому мир состоит из атомов. Между тем-де это мировоззрение как нельзя лучше соответствует разумным основам подлинной натурфилософии…

Но при чём тут Зенон? Речь-то шла об идеях Демокрита!

Атомистика Демокрита была реакцией на выпады элейской школы, во главе которой стоял Зенон. Интересно и важно: Демокрит был апостолом атомизма не только в физике, но и в математике. Причём обосновывал необходимость атомистического миросозерцания ссылкой не на физические явления, отнюдь, а на чисто математические затруднения, возникающие в том случае, если считать пространство непрерывным.