По следам сенсаций

Надо сказать, что все графические построения геометрии опираются именно на интуицию, на чувственный опыт. В том числе и наша картинка с трассой стрелы, с треугольничком, с тангенсом угла наклона касательной, с Аполлоном, Пифоном и прочими образами «живописного искусства» геометрии. (Куда завело Лейбница чрезмерное доверие к подобным геометрическим аналогиям, мы уже знаем). Но в том-то и дело, что математический анализ вовсе не обязан исходить из графических построений! Оперируя собственным набором правил и символов, он в состоянии формулировать свои выводы совершенно независимо от геометрии, хотя, впрочем, многие утверждают, что без интуитивных представлений математике всё равно не обойтись. Как бы там ни было, графики играют лишь вспомогательную роль: они наглядно истолковывают сложные понятия, а это всегда облегчает восприятие. К сожалению, не все понятия доступны нашей интуиции. Формально описывать их мы можем, а вот зримо вообразить себе — увы… Так ведь это-то противоречие и подметил Зенон! Конечно, представить себе Диогена, дефилирующего перед носом искусителя, — дело пустячное. Можно даже нарисовать траекторию этой самоуверенной демонстрации здравого смысла — скорей всего она будет прямолинейной. Увы, чересчур прямолинейной. Ибо нарисовать и «обсчитать» её по всем правилам формальных процедур мало. Элеаты ждали ответа на вопрос: как из неуловимых моментов покоя складывается движение?.. А из непротяженных точек протяжённый отрезок — трасса той же стрелы? Дискретно или непрерывно пространство? Как представить себе структуру подобных совокупностей точек?

Правда, нельзя отказать опровергателю Зенона в остроумии. Но и в наивности тоже: неужто он всерьёз полагал, будто молчаливая апелляция к житейскому опыту обезоружит элейских «нигилистов»? Она ещё в древности считалась неубедительной: дело-то шло о математической сущности движения, а не о его физической видимости. Впрочем, только ли в древности?

«Движение есть сущность времени и пространства, — говорил Ленин. — Два основных понятия выражают эту сущность: (бесконечная) непрерывность и «пунктуальность» (= отрицание непрерывности, прерывность). Движение есть единство непрерывности (времени и пространства) и прерывности (времени и пространства). Движение есть противоречие, есть единство противоречий».

«Ещё со времён Зенона и его парадоксов, — продолжают Р. Курант и Г. Роббинс, — все попытки дать точную математическую формулировку интуитивному физическому или метафизическому понятию непрерывного движения были безуспешными. Нет затруднений в продвижении, шаг за шагом по дискретной последовательности значений а₁ а₂, а₃… Но когда приходится иметь дело с непрерывной переменной х, пробегающей целый интервал значений на числовой оси, то описание того, как х «приближается» к заданному значению xi, затруднено тем, что принимаемые значения из интервала не могут быть указаны последовательно в порядке их возрастания. В самом деле, точки прямой представляют везде плотное множество, и не существует точки, «следующей» за данной. Остаётся неизбежное расхождение между интуитивной идеей и точным математическим языком, предназначенным для того, чтобы описывать её основные линии в научных, логических терминах, Парадоксы Зенона ярко обнаруживают это несоответствие».

Парадоксально, но факт налицо: понятие «дифференциал» и тесно связанное с ним понятие «интеграл», взращённые на атомистической почве, противоречат всему строю нынешней математики, пронизанной идеей непрерывности! Как же быть?

Вот прогноз профессора Лурье: «Несомненно, что в будущем математика, если она будет построена на принципе непрерывного, либо откажется от этой почтенной реликвии и научится обходиться исключительно лишь ясными и отчётливыми понятиями производной, первообразной функции и предела суммы (эту попытку сделал ещё Лагранж), либо лучше приспособит отжившие понятия «дифференциал» и «интеграл» к современным математическим взглядам, покончив с последними следами атомистических представлений».

Хотелось бы обратить внимание читателя на одну лишь, мысль этого интереснейшего пророчества: вместо бяки интеграла, этой «почтенной реликвии атомистической эпохи», предлагается обойтись понятием предела суммы. Но так ли уж оно отчётливо и ясно? И не Зенон ли первый подметил внутреннее противоречие, присущее этому понятию?

«В последнее время, — утверждает профессор С, А. Богомолов в книге «Актуальная бесконечность», — уточняя понятия анализа, мы удалились от Ньютона. Логическое совершенствование способа пределов вновь привело к торжеству Зеноновых апорий, разве что слова «Ахилл не догонит черепаху» на современный язык перевели бы так: переменная не достигает своего предела».