По следам сенсаций

Бессильная в своём могуществе, математическая логика в недоумении разводит руками.

«Ну и что? — пожмёт плечами читатель. — Разве из-за этих сугубо теоретических, лучше даже сказать, надматематических изъянов хуже действуют столь мощные практические инструменты, как, например, дифференциальное и интегральное исчисление? Или вы забыли, какие чудеса творит кибернетика? То ли будет впереди! А вы всё толкуете о каких-то там парадоксах…»

Спору нет, успехи современной математики грандиозны. Кибернетики — тоже. Электронные машины вторглись в заповедные области человеческого интеллекта… Нынче они навострились не только доказывать известные теоремы, но даже… формулировать новые!

Работая по программе, составленной американским учёным Ваном Хао, универсальная цифровая машина ИБМ-704 за восемь минут тридцать секунд доказала все триста пятьдесят теорем, что составляют целых девять глав в монографии Рассела и Уайтхеда «Основания математики»!

Этим дело не ограничилось. Ван Хао так запрограммировал машину, чтобы она не просто доказывала или опровергала математические предложения, заданные человеком, а сама занялась научным творчеством. И машина охотно принялась печатать одну за другой новые теоремы…

Так, может, эра машинного мышления знаменует собой начало полного раскрепощения математики от логических несуразностей?

Послушаем специалистов.

«Имеется ряд результатов математической логики, — говорит А. Тьюринг, автор книги «Может ли машина мыслить?», — которые можно использовать для того, чтобы показать наличие определённых ограничений возможностей машин..! Наиболее известный из этих результатов — теорема Гёделя… Существуют определённые вещи, которые эта машина не может выполнить. Если она устроена так, чтобы давать ответы на вопросы, то будут вопросы, на которые она или даст неверный ответ, или не сможет дать ответа вообще, сколько бы ни было ей предоставлено для этого времени».

А вот какого мнения придерживается «отец кибернетики» Норберт Винер: «Всякая логика ограничена вследствие ограничений человеческого разума, которые обнаруживаются при том виде его деятельности, который мы называем логическим мышлением. Например, в математике мы посвящаем много времени рассуждениям, включающим понятие бесконечности, но эти рассуждения и сопровождающие их доказательства в действительности не бесконечны. Всякое, допустимое доказательство содержит лишь конечное число шагов…

Доказательство есть логический процесс, который должен привести к определённому заключению через конечное число шагов. Напротив, логическая машина, действующая по определённым правилам, не обязательно должна прийти когда-либо к заключению. Она может продолжать проходить через различные шаги, никогда не останавливаясь; при этом она будет либо совершать последовательность действий всё увеличивающейся сложности, либо повторять один и тот же процесс, подобно вечному шаху в шахматной партии. Это действительно имеет место в случае некоторых парадоксов Кантора и Рассела».

Значит, и машины пасуют перед логическими парадоксами? Если бы только перед парадоксами…

Недавно вышла в свет прелюбопытнейшая книжица М. Таубе «Вычислительные машины и здравый смысл. Миф о думающих машинах». Там сказано: «В свете теоремы Гёделя о неполноте элементарной теории чисел существует бесконечное множество задач, которые принципиально неразрешимы этими машинами, как бы сложна ни была их конструкция и как бы быстро они ни работали. Очень может быть, что человеческий мозг — это тоже «машина» с присущими ей ограничениями и с неразрешимыми для неё математическими проблемами. Даже если это так, то человеческий мозг воплощает в себе систему операционных правил, значительно более могущественную, чем у мыслимых в настоящее время машин. Так что в ближайшем будущем не видно перспектив замены человеческого разума роботами».

Неужели и тут «движенья нет»?

Прежде чем окончательно, уяснить неутешительный вывод Таубе, давайте разберёмся, о какой ограниченности машины по сравнению с человеком твердят кибернетики.

Если верить историческому анекдоту, Архимед открыл свой знаменитый закон гидростатики нежданно-негаданно — лёжа в ванне. Взволнованный внезапно осенившей его идеей, учёный, забыв одеться, побежал по улицам Сиракуз с криком: «Эврика!»

Отголосок этого восклицания великого эллина через двадцать с лишним веков зазвучал в слове «эвристика». Таким термином современные учёные пользуются, когда говорят о характерных особенностях человеческого мышления.