Почему E=mc²? И почему это должно нас волновать

Для того чтобы ответить на этот вопрос, нужно еще раз взглянуть на линии в пространстве-времени, точки которых находятся на одинаковом расстоянии s от точки O (то есть мы хотим рассмотреть аналоги окружностей в эвклидовом пространстве-времени). Единственное отличие – знак минус вместо знака плюс. На рис. 6 показаны наши старые знакомые – события O и A, а также линия точек, равноудаленных от точки O. Очень важно то, что эти точки больше не лежат на окружности. Сейчас они расположены на кривой, известной математикам как гипербола. С математической точки зрения все точки на этой кривой удовлетворяют нашему уравнению s² = (ct)² − x². Обратите внимание, что кривая стремится приблизиться к пунктирным прямым линиям, наклоненным под углом 45 градусов к осям. Теперь ситуация в восприятии наблюдателя в космическом корабле совершенно иная, чем в версии со знаком плюс, поскольку событие A всегда находится в будущем по отношению к событию O. Событие A может перемещаться вдоль кривой, но оно никогда не окажется в прошлом по отношению к O. Другими словами, все наблюдатели согласятся, что вы проснулись до того, как позавтракали. Можно вздохнуть с облегчением: принцип причинности в пространстве-времени Минковского не нарушается.

Рис. 6

Это один из важнейших моментов в книге, поэтому его стоит повторить. Если мы решили определять расстояние в пространстве-времени между двумя событиями O и A с помощью уравнения Пифагора, но со знаком минус вместо плюса, то независимо от того, кто именно рассматривает эти два события, событие A никогда не окажется в прошлом по отношению к событию O; оно просто перемещается по гиперболе. Это означает, что если событие A находится в будущем события O для одного наблюдателя, то с этим утверждением согласятся и все остальные наблюдатели. Поскольку гипербола никогда не попадает в прошлое события O, все признают то, что вы отправились завтракать после того, как проснулись.

Итак, мы только что завершили очень тонкие рассуждения. Это, конечно, не означает, что мы были правы, принимая исходную гипотезу о наличии «инвариантного» расстояния в пространстве-времени, которое будет справедливо для всех наблюдателей. Но это означает, что наша гипотеза прошла важную проверку на подчинение требованиям принципа причинности. Мы еще не закончили, потому что не просто играем с математикой. Мы физики и пытаемся построить теорию, описывающую устройство нашего мира. Конечным и решающим ее испытанием будет ее способность делать прогнозы, согласующиеся с результатами экспериментов. Но пока мы к этому не готовы, поскольку не знаем, чему равна калибровочная скорость c. Без чисел мы просто не в состоянии ничего вычислить.

Помните: для того чтобы описать понятие расстояния в пространстве-времени, нам нужно значение c, потому что измерять пространство и время необходимо в одних и тех же единицах. Пока мы не можем точно сказать, что собой представляет скорость c. Есть ли в ней что-то интересное? Ключ к ответу лежит в интригующем свойстве только что построенного пространства-времени Минковского. Эти пунктирные линии под углом 45 градусов к осям очень важны. На рис. 7 мы изобразили несколько других кривых, каждая из которых обладает свойством эквидистантности от O в пространстве-времени. Важный момент: мы можем изобразить четыре типа кривых. Одна находится полностью в будущем относительно O, другая – в прошлом, а две оставшиеся расположены слева и справа. Они внушают некоторую тревогу, поскольку пересекают горизонтальную ось так же, как и окружность, когда мы рассматривали формулу Пифагора со знаком плюс. Тогда нам пришлось отвергнуть гипотезу из-за нарушения принципа причинности. Не оказались ли мы в том же тупике в версии со знаком минус? Нет, потому что на сей раз из тупика есть выход. На рис. 7 показано событие B, расположенное в проблемной области; оно находится в прошлом по отношению к событию O. Однако эквидистантная гипербола, все точки которой размещены на одном и том же расстоянии от O в пространстве-времени, пересекает ось пространства. Это говорит о том, что могут быть как наблюдатели, для которых событие B находится по отношению к событию O в будущем, так и наблюдатели, для которых событие B находится по отношению к событию O в прошлом. Не забывайте: для всех наблюдателей расстояние между событиями в пространстве-времени одинаково, даже если по отдельности расстояние в пространстве и расстояние во времени для них различно. Хотя это выглядит как нарушение принципа причинности, к счастью, это совершенно не так.

Рис. 7