Почему E=mc²? И почему это должно нас волновать

Вот и все, что следовало сказать о векторах, – во всяком случае пока (вектор скорости в пространстве-времени понадобится нам снова чуть позже). Несколько следующих абзацев посвящены второму важному фрагменту головоломки E = mc². Представьте себе, что вы физик, пытающийся понять, как устроена Вселенная. Вы уже спокойно воспринимаете идею векторов и даже составили ряд математических уравнений, которые их содержат. А теперь вообразите, что кто-то, скажем один из ваших коллег, говорит вам, что существует особый вектор, который никогда не меняется, что бы ни происходило в той части Вселенной, к которой он относится. Сначала вы, возможно, это проигнорируете: если ничего не меняется, то вряд ли удастся раскрыть суть рассматриваемого вопроса. Но ваш интерес усилится, если коллега уточнит, что этот особый вектор образован посредством суммирования ряда других векторов, каждый из которых связан с отдельной частью объекта, который вы пытаетесь понять. Различные части этого объекта способны перемещаться, и когда они делают это, каждый из отдельных векторов может меняться, но всегда таким образом, что общая сумма всех векторов образует все тот же неизменный особый вектор. Кстати, суммирование векторов – очень легкий процесс, мы еще к нему вернемся.

Чтобы продемонстрировать, насколько полезной может быть идея неизменных векторов, давайте поразмышляем над очень простой задачей: попробуем понять, что происходит с двумя бильярдными шарами в момент их столкновения. Пример из бильярда вряд ли можно назвать жизненно важным, однако физики любят подобные примеры, но не потому, что могут изучать только простые явления или обожают бильярд, а скорее потому, что во многих случаях сложные концепции легче понять, проиллюстрировав их сначала на простых примерах. Но вернемся к бильярду: ваш коллега говорит, что вам следует связать с каждым шаром вектор, который должен быть ориентирован в направлении движения шара. Предполагается, что, сложив два вектора (по одному на каждый шар), можно получить особый неизменный вектор. Это означает, что независимо от того, что происходит в момент столкновения шаров, мы можем быть уверены, что сложение двух векторов, связанных с шарами после столкновения, образует точно такой же вектор, как и полученный из двух шаров до столкновения. Потенциально это очень важный вывод. Наличие особого вектора существенно ограничивает возможные последствия столкновения. Пожалуй, еще большее впечатление произвело бы на нас утверждение вашего коллеги о том, что принцип «сохранения векторов» работает в любой системе событий, происходящих во Вселенной, – от столкновения бильярдных шаров до взрыва звезды. По всей вероятности, для вас не станет неожиданностью тот факт, что физики не используют обозначения «особый вектор», заменив его таким термином, как «вектор импульса», а сохранение векторов широко известно как «закон сохранения импульса».

Остались невыясненными два момента: какова длина векторов импульса и как именно их следует суммировать? Сложение векторов не составляет труда – для этого необходимо разместить один за другим все векторы, которые мы хотим суммировать. Конечный результат состоит в определении вектора, связывающего начало первой и конец последней стрелки. На рис. 10 показано, как это делается для трех произвольно выбранных стрелок. Большая стрелка – это сумма маленьких. Длину вектора импульса можно установить экспериментальным путем, и исторически именно так и было. Сама концепция возникла более тысячи лет назад – просто в силу своей полезности. В приближенном смысле она отображает разницу между ударом теннисного мяча и экспресса, когда оба движутся со скоростью 100 километров в час. Как мы уже говорили, концепция вектора импульса непосредственно связана со скоростью и, как наглядно показывает предыдущий пример, должна быть связана и с массой. Согласно доэйнштейновской физике, длина вектора импульса – это произведение массы и скорости. И, как мы уже знаем, этот вектор ориентирован в направлении движения. Следует отметить, что современное представление об импульсе как о сохраняемой величине имеет отношение к работе Эмми Нётер (мы уже обсуждали это). Затем мы узнали о существовании глубинной связи между законом сохранения импульса и трансляционной инвариантностью. С помощью символов величину импульса частицы с массой m, движущейся со скоростью v, можно описать уравнением p = mv, где p – символ, обычно используемый для обозначения импульса.

Рис. 10