Пока алгебра не разлучит нас

ВЕЙЛЬ: Боюсь, что почти ничего. Важнейшее отличие между ними заключается в том, что в нашей «таблице умножения» все строки и столбцы содержат одни и те же элементы, а в магическом квадрате числа никогда не повторяются. В первой строке квадрата Дюрера записаны числа 16, 3, 2 и 13, во второй — 9, 10, 11 и 8: квадрат красив как раз тем, что все числа в нем различны. Наша таблица скорее напоминает латинский квадрат: символы содержатся в каждой строке и в каждом столбце ровно один раз. Пример:

Далее я объясню, что таблица умножения для группы с конечным числом элементов всегда будет латинским квадратом.

ЛЕВИ-СТРОСС: Прекрасно. Давайте вернемся к группам.

ВЕЙЛЬ: Я привел столь подробный пример с преобразованиями треугольника для того, чтобы теперь мы смогли вместе определить их внутреннюю структуру, то есть то общее, что остается, когда мы отбросим все частные случаи. Не будем откладывать дело в долгий ящик и начнем с того, что избавимся от треугольника.

Напомню, что предмет нашего изучения — не фигура сама по себе, а ряд ее преобразований, которые мы обозначили через R, S и так далее. Заменим их произвольным множеством элементов (конечным или бесконечным), которое будем обозначать буквой G. В примере с преобразованиями треугольника мы можем объединить два движения так, что получится третье, которое будет обладать теми же свойствами. Сохраним это условие: для каждой пары элементов G должна быть определена операция, результат которой также будет принадлежать G. Ранее мы обозначали эту операцию, просто записывая два члена рядом. Теперь введем для обозначения этой операции какой-нибудь новый символ, например *. Так, а * b будет обозначать результат умножения а на b согласно свойствам групповой операции.

На этом мы могли бы остановиться, но подобная структура не содержит достаточно ограничений, чтобы гарантировать наличие некоторых интересных свойств.

Если мы рассмотрим множество всего из трех букв, к примеру С = {х, y, z}, то найдется 19 683 разных способа определить на этом множестве операцию, которая сопоставит любым двум элементам третий. Это слишком много! Необходимо, чтобы операция * обладала некоторыми свойствами. Вернемся к примеру с преобразованиями треугольника. Напомню, что композиция любого преобразования с тождественным преобразованием I оставляла исходное преобразование неизменным.

52

Аналогично, нам нужен нейтральный элемент е такой, что равенства а*е = е*а = а будут верными для любого элемента а множества G. С учетом нейтрального элемента в примере с множеством {х, у, z} число возможных операций сократится до 81 — почувствуйте разницу! Крайне важную роль в расчетах сыграла возможность располагать скобки в произвольном порядке, поэтому мы введем новое требование: при операции над любыми тремя элементами результаты (а * b) * с и а * (b * с) должны быть равны. Это свойство называется ассоциативностью.

Можно было бы сказать, что группа — это множество с определенной на нем ассоциативной операцией, содержащее нейтральный элемент.

Между прочим, такая структура действительно существует и называется моноидом. Приведенное определение могло бы стать определением группы, но преобразования треугольника обладают еще одним свойством, которое будет интересно обобщить. Это свойство обратимости, согласно которому для любого преобразования всегда найдется другое, которое вернет треугольник в исходное положение. Допустим, мы применили поворот R. Если теперь мы применим R², получим R²R = R³ = I. Таким образом, преобразование R² обратно преобразованию R. В других случаях движение может быть обратно самому себе, как, например, симметрии S, RS и SR. Существование обратной операции означает, что для любого элемента а множества G всегда найдется другой элемент b такой, что а * b и b * а будут равны нейтральному элементу.

Часто вместо b записывают а^-1. Так определяется группа. Чуть позже мы покажем, что определить группу на множестве {х, у, z) можно единственным способом.