Пока алгебра не разлучит нас

на множестве из пяти элементов {1, 2, 3, 4, 5}. Так мы указываем, что после перестановки σ₁ множество примет вид {2, 5, 3, 1, 4}, после перестановки σ₂ — {3, 4, 5, 1, 2}. Как видите, под каждым элементом исходного множества записан элемент, который приходит ему на смену после перестановки. Чтобы определить группу перестановок, необходимо описать композицию перестановок. Сейчас я покажу, как это можно сделать. Чтобы определить, чему равен результат σ₁ * σ₂, сначала посмотрим, какое число записано под элементом 1 в перестановке σ₂. Это число 3. Затем посмотрим, какому числу соответствует 3 в перестановке σ₁. Это вновь будет 3.

Тогда в композиции σ₁ * σ₂ числу 1 ставится в соответствие 3. Теперь посмотрим, что произойдет с числом 2: при перестановке σ₂ ему на смену придет 4, при перестановке σ₁ 4 соответствует 1, следовательно, в композиции перестановок σ₁ * σ₂ числу 2 ставится в соответствие число 1. Продолжив рассуждения, получим

Эта композиция перестановок полностью удовлетворяет всем условиям, приведенным в определении группы. Таким образом, мы получили симметрическую группу Sn, где n — число элементов множества, к которому применяется перестановка.

ЛЕВИ-СТРОСС: А где используются эти группы?

ВЕЙЛЬ: Повсеместно! Между прочим, существует теорема, согласно которой любая конечная группа содержится в некоторой симметрической группе — достаточно верно выбрать число элементов группы. Более того, мы, сами того не осознавая,

55

уже работали с симметрической группой. Помните, как мы различали преобразования треугольника? Мы пронумеровали его вершины и рассмотрели, как они меняются местами при различных движениях. Получается, что преобразование треугольника — не более чем перестановка чисел 1, 2 и 3. К примеру, после поворота R первая вершина будет находиться там, где раньше располагалась вторая, следовательно, при этой перестановке 1 ставится в соответствие 2. Аналогично, вершины 2 и 3 будут находиться там, где раньше располагались 3 и 1 соответственно, таким образом, при этой перестановке 3 соответствует 2, 1—3. Следовательно, поворот R описывается той же информацией, что и

Повторим рассуждения для каждого преобразования и получим следующую таблицу соответствий.

Обратите внимание, что если мы составим композицию перестановок

которые, как мы только что показали, обозначают R и S соответственно, то получим следующую перестановку:

которая соответствует RS. Перестановки и преобразования треугольника в точности соответствуют друг другу! С точки зрения структуры группа преобразований, оставляющих треугольник неизменным, идентична симметрической группе S₃ Говорят, что эти две группы изоморфны.

56

В общем случае группы G и Н называются изоморфными, если существует функция f, которая сопоставляет каждому элементу G некий элемент Н так, что выполняются три следующих условия:

1) различным элементам соответствуют различные отображения;

2) любой элемент Н является отображением некоторого элемента G;

3) функция f удовлетворяет определению групповой операции, а именно: если мы выполним операцию над элементами g₁ и g₂ множества G, после чего найдем отображение ее результата или же если мы сначала найдем отображения f(g₁) и f(g₂), после чего выполним операцию над ними, то полученные результаты будут одинаковы[5].

ЛЕВИ-СТРОСС: Прекрасно, что дальше?

ВЕЙЛЬ: Аксиомы, определяющие структуру группы, можно использовать при доказательстве теорем, которые будут верны для любых групп при соблюдении необходимых условий. В частности, эти теоремы будут верны для нашей группы преобразований треугольника! Пункт 2 определения группы гласит, что существует нейтральный элемент е такой, что равенство а*е = е*а = а верно для любого а, и в определении не указывается, сколько элементов группы обладают этим свойством. Но в пункте 3 определения подразумевается, что он единственный — в противном случае потребовалось бы уточнить, какому из нейтральных элементов равна композиция произвольного элемента и обратного ему. Докажем, что нейтральный элемент является единственным. Допустим, что существуют два нейтральных элемента, е₁ и е₂. Требуется доказать, что е₁ = е₂. Рассмотрим произведение е₁ * е₂.

С одной стороны, е₁ — нейтральный элемент, поэтому он не изменяет значение элемента, записанного слева от него. Следовательно, е₁ * е₂ = е₂. С другой стороны, е₂ — также нейтральный элемент, следовательно, при умножении любого элемента на е₂ этот элемент не изменится. Таким образом, е₁ * е₂ = е₁ Мы доказали, что е₁ * е₂ одновременно равняется е₁ и е₂, следовательно, е₁ и е₂ должны быть равны.

Единственность нейтрального элемента. В любой группе существует только один элемент, для которого выполняется равенство а*е = е*а = а для любого а на множестве G.

ЛЕВИ-СТРОСС: Обратные элементы также будут единственными?

57