Популярно о конечной математике и ее интересных применениях в квантовой теории

Статья: “A Conjecture on the Nature of Time”. Автор: Ф. Лев.

Ответ автора на рецензию

Я признателен рецензенту за то, что он подробно изложил свои возражения. К моему подходу можно относиться по-разному, но, надеюсь, что рецензент, по крайней мере, признаёт, что подход нестандартный. Понимаю, что из-за этого у читателей могут быть проблемы с пониманием. Я старался подробно объяснить свой подход, но, по крайней мере, убедить рецензента мне не удалось. Вполне допускаю, что объяснение может быть не всегда ясным. Поэтому всегда благодарен за любую критику (в том числе и неправильную) т. к. она помогает понять в чем объяснение должно быть улучшено. В связи с замечаниями рецензента, статья значительно переработана. Ниже попытаюсь подробно ответить на все возражения рецензента.

1. Почему конечная математика более фундаментальна чем непрерывная. Рецензент пишет: "Разделение математики на фундаментальную (конечную) и нефундаментальную (непрерывную) совершенно произвольно. Прежде всего, автор не дает определения фундаментальной и нефундаментальной теорий, а рассматривает на формальном уровне возможность перехода от конечной математики к непрерывной. Очевидно, что с таким же успехом на таком же уровне строгости можно перейти от непрерывной математики к конечной.”

Этот вопрос я старался подробно объяснить в статье [15], которую рецензент читал. Но, раз он считает объяснение неубедительным, то попробую подробно объяснить этот пункт, чтобы в нем была полная ясность. Вначале приведу три примера хорошо известных из физики.

Рассмотрим специальную теорию относительности (СТО) и классическую механику. Фразу, что первая теория более фундаментальна чем вторая можно понимать так. В СТО есть конечный параметр c, и классическую механику можно считать формальным пределом СТО при c→∞ потому, что любой эффект классической механики можно получить из СТО в таком формальном пределе. Но когда мы уже перешли к пределу и получили классическую механику, то вернуться назад к СТО мы уже не можем и классическая механика не может описать все эффекты СТО. Она может описать с хорошей точностью только явления, где v/c<<1.

Рассмотрим де Ситтер (dS) инвариантную теорию и Пуанкаре инвариантную теорию, т. е. СТО. Фразу, что первая более общая чем вторая можно понимать так, что в первой есть конечный параметр R (который можно назвать радиусом мира) и вторая теория может быть получена из первой в формальном пределе R→∞. Поэтому любой эффект второй теории можно получить из первой в таком формальном пределе. Но, когда мы уже перешли к пределу и получили СТО, то вернуться назад к dS теории мы уже не можем и СТО не может описать все эффекты dS теории.

В своей знаменитой статье “Missed opportunities” ("Упущенные возможности") Dyson пишет, что СТО лучше классической механики, а dS теория лучше СТО не только из физических, но и из чисто математических соображений. Группа Пуанкаре более симметричная чем группа Галилея и переход от первой ко второй при c→∞ формально описывается процедурой контракции. Аналогично группа де Ситтера более симметричная чем группа Пуанкаре и переход от первой ко второй при R→∞ формально тоже описывается процедурой контракции. Однако, группа де Ситтера полупростая и поэтому имеет максимально возможную симметрию. Поэтому эта группа не может быть получена из какой-то еще более симметричной группы при помощи контракции.

Сравним квантовую и классическую теории. Первая понимается как более общая чем вторая, например, потому, что вторая может трактоваться как формальный предел первой при ћ→0. Любой эффект классической теории можно получить из квантовой в таком формальном пределе. Но, когда мы уже перешли к пределу, то вернуться назад к квантовой теории мы уже не можем.

Во всех трех рассмотренных случаях есть общая закономерность. Мы рассматриваем две теории, так что первая содержит какой-то конечный параметр, а вторая получается из первой в формальном пределе, когда этот параметр стремится к нулю или бесконечности. Тогда первая теория трактуется как более фундаментальная чем вторая. Когда мы уже перешли к пределу, то вернуться назад к первой теории мы уже не можем.

В литературе есть термин cћG куб физических теорий. Смысл такой, что самая общая теория – это квантовая релятивистская теория гравитации, которая содержит все три параметра, менее общие теории содержат меньшее число параметров, а наименее общая теория – классическая, не квантовая и без гравитации не содержит ни c, ни ћ ни G. В своих статьях я пишу, что, во-первых, исходя из сказанного выше, лучше говорить о cћR кубе, а не cћG кубе. А во-вторых, из этой терминологии может создаться впечатление, что как раз наоборот, классическая неквантовая теория без гравитации самая общая т. к. она не содержит параметров вообще. На самом деле такая теория содержит три параметра – (kg,m,s), а в самой общей dS инвариантной квантовой теории вообще нет никаких параметров и размерностей. Они возникают только потому, что мы хотим выражать cћR через классические размерности. Эти параметры нужны только для формального перехода от более общей теории к менее общей. Этот вопрос обсуждается в моих статья и в данной статье тоже.

Наконец, обсудим вопрос о связи конечной математики со стандартной. Стандартная математика начинается с натурального ряда и, как следует из теорем Гёделя, любая теория, содержащая натуральный ряд, автоматически имеет неразрешимые проблемы с обоснованием. Рецензент пишет: "Невнятная ссылка на теоремы Гёделя не имеет отношения к данному вопросу, так как эти теоремы касаются и натурального ряда чисел, который используется автором как исходный строительный материал… Однако, в рецензируемой статье, говоря о теоремах Гёделя, автор просто выбросил упоминание о натуральном ряде чисел…".

Обычно, когда у меня возникает неясность, я стараюсь не делать сразу вывод, что кто-то чего-то не понимает и пытаюсь понять, что, может быть, я чего-то не понимаю. Но в данном случае не могу найти объяснение другое чем то, что рецензент не понимает. Конечная математика не может содержать натуральный ряд “как исходный строительный материал” хотя бы потому, что натуральный ряд бесконечен. Рецензент пишет, что, говоря о теоремах Гёделя на стр. 9, я сознательно выбросил упоминание о натуральном ряде. Но я говорил о теоремах только в связи со стандартной математикой. В конечной математике нет натурального ряда и теорем Гёделя.

Конечная математика начинается не с натурального ряда, а с набора чисел R_p=(0,1,2,…p-1) который в литературе называется кольцом вычетов по модулю p, и это отмечено в статье на стр. 8. В этом наборе сложение, вычитание и умножение определяются как обычно, но по модулю p. В теории чисел фраза что что-то берется по модулю p означает, что берется только остаток от деления этого числа на p. Например, возьмем набор чисел (0,1,2,3,4), т. е., p=5. Тогда 3+1=4 как обычно, но 3+2=0 и 3+3=1. Этот набор замкнут относительно этих трех операций т. к. мы всегда получим число из этого набора. А если p простое, то этот набор становится не только кольцом, но и полем т. к. можно ввести деление. Например, 1/2=3, 1/4=4 и т. д. Можно сказать, что все это – экзотика и (или) патология, которая не имеет отношения к жизни, т. к. 3+2 всегда 5, а не ноль.

Ответ на это возражение такой. Допустим, для простоты, что p нечетное. Т. к. операции в нашем наборе определяются по модулю p, то R_p можно представить и как R_p=(-(p-1)/2,-(p-3)/2 … – 1,0,1,… (p-3)/2,(p-1)/2). Тогда, если p очень большое, то для чисел, которые по абсолютной величине <=p, сложение, вычитание и умножение будут такими же как обычно, т. е., в этом случае мы не замечаем p. Отличие от обычного случая будет только для чисел, у которых абсолютная величина сравнима с p. Можно выдвинуть возражение, что все равно все это нефизично т. к. 1/2 равно большому числу (p+1)/2. Но т.к. состояния в квантовой теории проективные, то это возражение ничего не опровергает (как подробно обсуждается в моих работах). Более того, возникает вопрос (см. новый вариант статьи) является ли обычное деление фундаментальной операцией.

Как отмечено в моих работах (например, в [15], которую рецензент читал), указанный набор наглядно можно представить в виде точек на окружности. Это следует из того, что если возьмем любой элемент aϵR_p и будем все время прибавлять 1, то за p шагов исчерпаем всё R_p по аналогии с тем, что, когда движемся по окружности в одном направлении, то когда-то вернемся в исходную точку. В то же время, кольцо целых чисел Z можно изобразить целыми точками на бесконечной прямой. Когда p увеличивается, то для все большей части нашего набора сложение, вычитание и умножение становятся как в обычном случае. Это аналогично тому, что когда мы находимся на кривой поверхности, то кривизну не замечаем до тех пор пока расстояния радиуса кривизны. Формальный предел p→∞ наглядно означает, что из R_p мы делаем Z, т. е. как бы разрываем окружность и делаем из нее прямую.

Историческая аналогия здесь очевидна. В течении многих лет люди думали, что Земля плоская, а потом все же поняли, что она круглая. Пока мы имеем дело с расстояниями радиуса кривизны, то кривизну не замечаем. Аналогично, пока еще абсолютное большинство людей думают, что набор чисел – это прямая. Это происходит потому, что в настоящее время число p очень большое и, когда мы имеем дело с числами p, то «кривизну» не замечаем.

Когда мы разрываем окружность, то теряем симметрию т. к. окружность – более симметричная фигура чем бесконечная прямая. Это следует из того, что если возьмем aϵZ и будем все время прибавлять 1, то не исчерпаем всё Z. Для этого надо к a прибавлять +1 и -1, причем бесконечное число раз. И, когда мы разорвали окружность и получили набор целых чисел, то теперь с ними можем наводить большую науку, вводить, рациональные, действительные числа и т.д. Как я объясняю в своих работах (см. также новый вариант статьи), рациональные и действительные числа являются искусственными и для квантовой теории они не нужны. Никто не спорит, что техника стандартного анализа полезна во многих приложениях, но эта техника часто является хорошим приближением потому, что p очень большое. И раз стандартная математика часто хорошо описывает данные даже в квантовой теории, то это не значит, что всегда будет достаточно применять стандартную математику. Например, классическая механика описывает много данных с высокой точностью, но перестает работать когда v/c не мало.

Итак, стандартная математика может трактоваться как формальный предел конечной при p→∞. Конечная математика является более общей (или фундаментальной) т.к. она может воспроизвести все результаты стандартной математики, если взять p достаточно большим. И наоборот, в отличие от того, что пишет рецензент, когда мы уже перешли к пределу p→∞, то вернуться назад мы уже не можем. Стандартная математика не может воспроизвести все результаты конечной т. к. в стандартной математике уже нет операций по модулю p. Ситуация полностью аналогична той, которая описана выше для трех случаев: менее общая теория получается из более общей, когда некоторый параметр, который в более общей теории конечен, формально устремляется к нулю или бесконечности. Это я объясняю в своих работах, в том числе в [15], которую рецензент читал. Но т. к. это не убедило рецензента, то в новом варианте я это объясняю более подробно, тем более, что ЭЧАЯ является обзорным журналом.

Рецензент пишет, что в [15] p – это константа, такая что конечная математика имеет дело с конечным числом объектов p, а в настоящей работе"…p характеристика конечного поля или кольца. Какая именно характеристика автор не уточняет.". В учебниках по конечной математике число p называется характеристикой конечного поля или кольца, так что все операции производятся по модулю p. Это я писал в предыдущих работах. В настоящей работе смысл p объясняется и в конце раздела 2 говорится, что в теории чисел p – это стандартное обозначение для характеристики поля или кольца, так что тоже объясняется в каком смысле p характеристика. Но все же, в связи с замечанием рецензента, теперь и в новом варианте статьи, как только ввожу p, то сразу пишу, что оно называется характеристикой.

Итак, и в моих предыдущих работах и в данной работе p – это одна и та же величина. Слова рецензента, что p – это константа, такая что конечная математика имеет дело с конечным числом объектов p, в общем случае, неправильные. Например, квадратичное расширение колъца R_p является конечным аналогом комплексных чисел и здесь число объектов равно p². И логика рецензента противоречива: в одном месте он говорит, что я использую натуральный ряд (т. е., бесконечное множество) как "исходный строительный материал" и выбросил упоминание о натуральном ряде, а в другом, что конечная математика имеет дело с конечным числом объектов. Из этих рассуждений следует, что в любой физической теории основанной на конечной математике обязательно есть конечный параметр p, который является характеристикой конечного поля или кольца. Можно было бы сказать, что стандартная теория лучше т. к. в ней нет такого параметра. Но это аналогично тому, что в рассмотренных выше примерах физических теорий сказать, что нерелятивистская классическая теория без гравитации является самой лучшей т.к. в ней нет никаких параметров.

Возникает вопрос, есть ли какие-то соображения для выбора p. Рецензент пишет, что в данной работе "В процессе эволюции Вселенной параметру p необходимо придавать различные значения. По какому закону это надо делать – автор не указывает. Как это согласуется с утверждением, что p – это фундаментальная константа (см пункт (а)), автор не поясняет.".

Вопрос о выборе p очень сложный и, т.к. FQT – еще далеко не законченная теория, в ней нет однозначного ответа на этот вопрос. Когда я начинал работать над FQT, то предполагал, что эта теория должна быть основана на конечном поле. В этом случае p обязательно должно быть простым и, например в [23] обсуждаются различные варианты. Но, после изучения работ M. Saniga и переписки с ним, сейчас думаю, что это необязательно и, т.к. деление не является фундаментальной операцией, то теория над кольцом более привлекательна. В этом случае p необязательно должно быть простым.

В первоначальных работах по FQT я не рассматривал эволюцию, трактовал p как фундаментальный параметр, но не писал, что p – это константа, которая одинакова на всех стадиях эволюции Вселенной. Например, в современных теориях величины cћG считаются фундаментальными константами, но нет закона, что в процессе эволюции Вселенной они все время одинаковы, особенно большие дебаты идут о том меняется ли G со временем. В настоящей работе я рассматриваю гипотезу, что то, что мы воспринимаем как классическое время является следствием того, что p разное на разных стадиях эволюции Вселенной. Т. е. я не говорю, что p меняется со временем т. к. в этой гипотезе само существование времени – следствие того, что p меняется. Основная цель работы – привести аргументы в пользу этой гипотезы. Отмечу, что многие известные факты в науке первоначально были сформулированы как гипотезы и некоторые из них не доказаны до сих пор, например, гипотеза Римана о дзета-функции. Но вокруг этой гипотезы идут большие споры, так что неправильно сказать, что Риман не должен быть публиковать свою гипотезу.

Если моя гипотеза верна и на каждом шаге эволюции то что мы воспринимаем как время каждый раз меняется на одну и ту же величину, то, как следует из формулы (77), величина Δlnp каждый раз меняется приблизительно на одну и ту же величину. Но этот вопрос требует дальнейшего исследования. Надеюсь, что итог этого длинного рассуждения ясен: конечная математика является более фундаментальной чем стандартная. Если рецензент имеет возражения и все равно считает, что вопрос неясен, то буду признателен за любую конструктивную критику.

Рецензент прав, что в [15] FQT трактуется как теория, которую только предстоит построить. Однако, я не понимаю, почему рецензент решил, что в данной работе FQT трактуется как реальная теория. Таких утверждений в статье нет. На стр. 9 написано: «In Refs. [13, 9] and other publications we have proposed an approach called FQT (Finite Quantum Theory) when Lie algebras and representation spaces are over a finite field or ring with characteristic p». Т. е., FQT характеризуется как подход, а не как уже сформировавшаяся теория.

2. Об энергии вакуума

Рецензент пишет: «Автор сознательно умалчивает о том, что «предсказание» окончательной квантовой теории (FQT) о равенстве нулю вакуумной энергии… противоречит хорошо известному в современной физике эффекту Казимира. В рецензируемой статье автор не упоминает об этом «предсказании» FQT… и пояснений не дает». Опишу в чем смысл моего результата о нулевой вакуумной энергии. Возьмем какую-то стандартную QFT, например QED. Здесь считается, что энергия вакуума должна быть нулевой, но после квантования для нее получается бесконечное выражение. Чтобы избежать этого, говорят, что операторы рождения-уничтожения должны быть записаны в нормальной форме. Из постулатов теории это не следует, просто мы хотим иметь нулевую энергию вакуума. В работе [15], которую упоминает рецензент, я ссылаюсь на свое подробное вычисление, например, в [3]. Это вычисление заключается в следующем. Во-первых, как написано в [15], я рассматриваю случай когда частицы не нейтральны, т.е., не совпадают со своими античастицами. Беру выражение для энергии вакуума, которое в стандартной теории является бесконечным, но считается, что энергия должна быть нулевой. Вычисляю эту же сумму, но над конечным полем и получаю что для частиц со спином 1/2 сумма равна нулю. Далее в [15] я пишу: “Our conclusion is that while in standard theory the vacuum energy is infinite, in FQT it is not only finite (in finite mathematics it cannot be infinite) but is exactly zero if s=1 (i.e. s=1/2 in the usual units)”.

Так что результат чисто технический: просто вычисляется сумма, которая в стандартной теории бесконечна и показывается, что в FQT для не нейтральных частиц со спином 1/2 она равна нулю. Не буду обсуждать насколько результат фундаментальный, но, во всяком случае, чисто формально никакого противоречия с эффектом Казимира нет.

Но все же замечу следующее. Во-первых, в литературе обсуждается, согласуется ли эффект Казимира с тем, что в квантовой гравитации считается, что энергия вакуума обязана быть нулевой. Кроме того, в эффекте Казимира речь идет не о вакуумной энергии всей системы, а о вакуумной энергии только электромагнитного поля в присутствии других тел. Т.е., даже не совсем понятно, может ли в таком случае термин «вакуумная энергия» быть физически правильным т.к. среднее значение оператора энергии электромагнитного поля не равно нулю не в вакууме, а когда есть другие тела.

Так что заявление рецензента, что я сознательно скрыл свой результат, чтобы не показать противоречие FQT с эффектом Казимира, необоснованно. Противоречия никакого нет, и к данной работе этот результат не имеет отношения.

3. Проблема времени в квантовой теории.

Вначале о чисто техническом вопросе, который обсуждает рецензент. Он говорит, что в разделе 8 формулы (77) вообще нет. Это не так т.к. на стр. 33 четвертая строка снизу написано: Since time is a dimensionful parameter, we define time such that its variation is given by Δt = RΔlnp/lnp. Это как раз формула (77), но в единицах c=1, которые приняты в данном разделе. Далее рецензент пишет: «…величины n и p в правой части формулы (77) – целые числа, поэтому Δt может принимать только дискретные значения, что, очевидно, не позволяет трактовать t как классическое время. Таким образом, предположение автора о природе (классического) времени (формула (77)) совершенно несостоятельно».

Видимо, здесь описка т.к. в (77) величины n нет совсем, но смысл утверждения рецензента кажется понятным. Опять-таки, как я писал выше, если у меня есть неясность, то я стараюсь не заключать сразу, что кто-то другой не понимает. Но в данном случае опять не могу найти другого объяснения чем то, что представление рецензента о классическом времени (мягко говоря) довольно странное.

В стандартных теориях величина t считается непрерывной т.к. эти теории используют непрерывную математику. Но понятие бесконечно малых было введено Ньютоном и Лейбницем когда люди не знали, что есть атомы и элементарные частицы и думали, что любое вещество можно разделить на любое сколь угодно большое число сколь угодно малых частей. Но теперь мы знаем, что это невозможно и в природе непрерывности нет, так что теперь кажется общепризнанным, что непрерывность – это только математическая абстракция. Насколько я понимаю, большинство физиков это признают и здесь дискуссии идут только о том с какой точностью величины, которые в непрерывных теориях считаются непрерывными, хорошо приближаются такими теориями.

В частности, что касается времени, то это чисто классическое понятие. В литературе обсуждается какое минимальное время можно измерить. Пишут о наносекунде и даже фемтосекунде. Те, кто серьезно относится к инфляционным моделям, говорят даже о 10^-35s, а те, кто всерьез относится к Планковским единицам говорят о Планковском времени 10^-43s. Но, совершенно непонятно, имеют ли смысл времена 10^-100s или 10^-1000s. Если время изменилось на Δt, а координата r на Δr, то при малых Δt и Δr величина Δr/Δt может быть очень близка к величине dr/dt, которую дает какая-то дифференцируемая теория. Но ни в каком физическом эксперименте нельзя измерить Δt и Δr с произвольно большой точностью.

Поэтому требование рецензента, что любая модель времени должна быть строго непрерывной выглядит (мягко говоря) очень странно. В моем подходе, исходящем из FQT никакое время не может быть непрерывным потому что FQT использует только конечную математику. Однако, если величины Δt намного меньше чем стандартные классические времена, то величины типа Δr/ Δt могут быть очень близки к тем, которые дают стандартные классические теории для dr/dt. В частности, величины даваемые формулой (77) могут быть настолько малы, что выражения Δr/ Δt могут быть формально с хорошей точностью заменены на dr/dt, которые удовлетворяют стандартным дифференциальным уравнениям. Все это подробно объясняется в статье, но почему-то, рецензент непреклонен: раз не получилось строго непрерывное время, то он без колебаний объявляет, что «предположение автора о природе (классического) времени (формула (77)) совершенно несостоятельно».

В заключительной части рецензии рецензент пишет: «В статье отсутствуют физически интересные результаты по заявленной автором теме (Предположение о природе времени). Аргументы автора поверхностны и формулируются нечетко, изложение явно тенденциозно… Данная работа не дает ничего содержательного для выяснения проблемы времени и только наглядно демонстрирует беспомощность конечной математики в таком важном для физики вопросе».

Конечно, рецензент вправе иметь свое мнение о моих результатах, но в рецензии это мнение должно быть обосновано. В статье подробно объясняю почему проблема времени в квантовой теории является очень важной и в чем смысл моих результатов. Рецензент тоже пишет, что проблема времени важная. Но в рецензии нет никакого намека на то как рецензент трактует эту проблему. Например, считает ли он проблемой, что в квантовой теории нет оператора времени, считает ли, что время не является первичным понятием, а должно как-то выводиться из квантовой теории или что просто надо постулировать существование непрерывного времени t. Из сказанного выше следует, что единственная причина почему рецензент отвергает мои результаты – потому, что в моем подходе время не может быть строго непрерывным. Если бы так заявил чистый математик, который совершенно не знает физики, то это было бы хоть как-то понятно. Но когда такое заявляет физик, то, как я писал, это выглядит (мягко говоря) очень странно. Кроме того, принципы научной этики предполагают, что любое отрицательное утверждение должно быть обосновано. Рецензент пишет, что мое изложение поверхностно и тенденциозно, но не объясняет в чем конкретно поверхностность и тенденциозность. Если он думает, что это следует из его критических замечаний в рецензии, то, как я объясняю выше, ни одно из его критических замечаний не является правильным.

4. Замечания рецензента о моей мотивации

Кроме критических замечаний о моем подходе и результатах, рецензент также высказывает свое мнение о моей мотивации. Он приводит фразу из статьи: «Основатели (квантовой) теории были высокообразованными физиками, но они использовали только классическую математику, и даже сейчас математическое образование на физических факультетах не включает дискретную и конечную математику». Казалось бы, раз он приводит эту фразу, то естественно ожидать, что он выскажет свое мнение о том, правильная ли фраза или нет. Но он свое мнение не высказывает, а делает вывод о мотивации этой фразы: «Таким образом, автор занимается просто лоббированием очередной реформы математического образования, прежде всего в России». Эта фраза ставит передо мной проблему, надо ли мне как-то оправдываться и объяснять, что я совсем не это имел в виду. Раз рецензент поднял этот вопрос, то попробую объяснить мотивацию этой фразы.

Конечно, в ответе на научную рецензию оправдания этой фразы могут выглядеть странно. Но все же напишу вначале, что никакого интереса в каком-то лоббировании у меня нет. У меня никогда не было постоянной позиции в образовании, а лекции я иногда читал только в дополнение к своей основной работе. Например, в 1988 г. я читал в ОИЯИ курс лекций в рамках программы «Лекции для молодых ученых ОИЯИ». В этой фразе я просто указываю на факт, но ничего не говорю о том, какая часть математического образования на физических факультетах должна посвящаться стандартной математике, а какая часть нестандартной.

Я действительно думаю, что рано или поздно фундаментальная квантовая теория будет основана на конечной математике. В своих работах и даже в ответе на эту рецензию привожу разные аргументы в пользу моей точки зрения. Однако, из замечаний рецензента следует, что его менталитет такой: если кто-то не следует традиционному подходу к квантовой теории (основанному на непрерывной математике), то за этим стоит не наука, а какие-то другие интересы. Т.е., он фактически налагает табу на любые попытки отклониться от его представлений о квантовой теории.

Нет сомнения, что стандартная квантовая теория достигла больших успехов при решении различных задач. Но, в то же время, хорошо известно, что теория еще далека от завершения и в ней есть большие проблемы. Например, в теории есть бесконечности. В перенормируемых теориях от них можно формально избавиться (если не очень следить за математической строгостью). Но обычно считается, что квантовая теория гравитации – это неперенормируемая QFT и там от бесконечностей нельзя избавиться даже во втором приближении теории возмущений. И даже в перенормируемых теориях свойства ряда теории возмущений совершенно непонятны, например, сходится ли он, является ли асимптотическим и т. д. Так что, если константа взаимодействия не маленькая, то тоже ничего посчитать нельзя.

Некоторые физики считают, что все эти проблемы – несерьезные, а те, кто считают эти проблемы серьезными, думают, что надо где-то улучшить QFT или теорию струн и тогда эти проблемы будут решены. Правда, например, Вайнберг считает, что «new theory is centuries away». Но все равно многие думают, что все будет сделано в обычной непрерывной математике, хотя, из сказанного выше, кажется очевидным, что такая математика не может быть фундаментальна на квантовом уровне.

Некоторые знаменитые физики, например, Швингер, Вигнер, Намбу, Гросс и другие рассматривали возможность, что будущая фундаментальная квантовая теория будет основана на конечной математике. В своих статьях (в том числе и в настоящей) привожу ссылки на работы других авторов, где тоже рассматривалась такая возможность. Так что в этом я далеко не первый. Одна из мотиваций – что в этом случае бесконечностей не может быть в принципе. Если следовать рецензенту, то надо сделать вывод, что все эти ученые тоже руководствовались не научными, а какими-то лоббистскими интересами.

Исходя из сказанного, считаю, что заявление рецензента о мотивации указанной фразы фактически является заявлением о моей научной недобросовестности, что является неприемлемым для научной рецензии.

Как отмечено выше, рецензент необоснованно считает, что я трактую свой результат о вакуумной энергии как «предсказание» FQT на все случаи жизни. Но как бы он не понимал мой результат, заявление рецензента, что я сознательно скрыл этот результат тоже является обвинением в научной недобросовестности. И фактически утверждение рецензента, что я не упомянул натуральный ряд и теорему Гёделя для случая конечной математики тоже является таким обвинением, и даже не важно, что в данном случае рецензент не понимает, что натуральный ряд и теорема Гёделя не имеют никакого отношения к конечной математике. Ошибки в понимании могут быть во многих случаях, но трактовать это как научную недобросовестность можно только если абсолютно ясно, что других объяснений нет. Но менталитет рецензента такой, что он даже не допускает, что он сам может чего-то не понимать или ошибаться, и у него нет моральной проблемы в заявлении, что автор показывает научную недобросовестность.

Мои общие замечания о рецензии такие. Я понимаю, что трудно дать рецензию на работу, в которой не являешься специалистом. Так как дискретная и конечная математика действительно не преподается на физических факультетах, то большинство физиков не знакомы даже с самыми основами такой математики. Это не является недостатком т. к. каждый что-то знает и чего-то не знает, и невозможно знать все. Но у некоторых физиков менталитет такой, что если они видят работу, которую они не понимают или которая не соответствует их представлениям, то сразу делают вывод, что это – экзотика и/или патология, которая не имеет отношения к физике.

До сих пор я получал из ЭЧАЯ и Писем в ЭЧАЯ рецензии, в которых замечания были на высоком научном уровне и целью этих замечаний было помочь автору в улучшении статьи. В ответ на эти замечания, статьи обычно перерабатывались и иногда не один раз. Один из рецензентов написал, что хотя он лично не верит в мой результат, но т.к. он не может его опровергнуть, то не возражает против публикации. Это является примером высокой научной порядочности. Однако, ситуация с настоящей рецензией полностью противоположная.

Рецензент дает отзыв на статью, исходящую из конечной математики. Он не знает даже азов этой математики, что сразу следует из его фраз, что я использую натуральный ряд как строительный материал для такой математики и что теоремы Гёделя применимы к конечной математике. Как я отмечал выше, незнание конечной математики не является недостатком. Однако, не имея даже базовых знаний о такой математике, рецензент делает заключение о моих результатах даже не понимая их. Как показано выше, ни одно из его критических замечаний не является правильным. Но главное даже не то, что все они неправильные (ошибаться может каждый), а то, что рецензент не допускает, что он может чего-то не понимать и делает свои заключения в безапелляционном тоне. Кроме того, в добавление к суждениям о научных результатах, рецензент делает еще необоснованные утверждения о моей мотивации. То, что ему кажется моими ошибками он объясняет не научными причинами, а тем, что, якобы, я специально скрываю недостатки своего подхода и что-то лоббирую, т. е. фактически обвиняет меня в научной недобросовестности. Поэтому выводы рецензента считаю необоснованными и прошу редакцию пересмотреть эти выводы.

P. S. Как я отмечал выше, любая критика, даже неправильная, полезна для меня т.к. помогает понять в чем у читателей могут быть проблемы. С учетом замечаний рецензента, статья значительно расширена и, в частности, в ней подробно объяснен фундаментальный (и даже фундаментальнейший) факт, что обычная непрерывная математика является вырожденным частным случаем конечной. Т.к. ЭЧАЯ – обзорный журнал, то думаю, что изложение этого факта в статье оправдано.

Что основное в рецензии? Во-первых, то, что рецензент не знает самых основ конечной математики, но с уверенностью отвергает. А его фраза, что раз я написал, что создатели квантовой теории были квалифицированными физиками, но не использовали конечную математику т.к. даже сейчас она не преподается на физических факультетах, то это попытка реформы образования, прежде всего в России, просто смешная.

Казалось бы, в этом ответе на рецензию все подробно объяснено. Но редакция прислала новый ответ, который не могу воспроизвести т. к. он в русском. pdf файле, который не смог скопировать. Поэтому могу привести только свой ответ на эту рецензию:

Ранее я подробно ответил на первую рецензию. Однако, вторая рецензия еще более отрицательная. Например, она содержит фразы «Полный абсурд!», «Опять абсурд» и другие недипломатические выражения. Кроме того, мой общий уровень Рецензент оценивает весьма низко: например, он пишет «впервые встречаю такого физика» и предполагает, что я забыл математику, которую изучал в студенческие годы. Рецензия заканчивается словами: «Дальнейшее обсуждение данной темы с автором не имеет смысла». Это значит, что свою вторую рецензию Рецензент провозгласил истиной в последней инстанции. В ответе на первую рецензию я отмечал, что Рецензент даже не допускает мысли, что он может ошибаться или что-то не понимать. Конечно, при таком подходе Рецензента обсуждать что-либо не имеет большого смысла. Тем не менее, я должен ответить на те замечания, которые непосредственно касаются статьи. Например, я не буду обсуждать проблему энергии вакуума т. к. уже отмечал, что она не имеет прямого отношения к статье (и к тому же, как обычно, Рецензент даже не пытался понять смысл моих замечаний по этой проблеме). Некоторые замечания Рецензента учтены, а некоторые не учтены. Вначале отмечу те замечания, которые учтены.

• Рецензент пишет, что «В математическом сообществе нет строгого правила, что включать в понятие конечная математика». Мне казалось, что этот вопрос ясен т.к. есть даже учебники с названиями «Конечные поля» или «Кольца Галуа». Теперь некоторые из этих учебников включены в ссылку [1], а в тексте я объясняю этот термин и то как понимаю физику, основанную на конечной математике, которую называю FQT.

• Рецензент пишет, что я не признаю свои ошибки т. к. в предыдущих работах называл p константой, а теперь это параметр связанный со временем. Теперь я отмечаю, что терминология в физике не вполне четкая. Например, величины (c,ћ,G) называют фундаментальными константами, но нет доказательства, что они одинаковые на протяжении всей истории Вселенной (вопрос о c особый т.к. просто выбирается система единиц, в которой постоянство c постулируется). В предыдущих работах я не обсуждал проблему времени, но в [3] отметил, что p может быть связано со временем.

• В предыдущем варианте статьи я обсуждал две фундаментальные проблемы:

а) Стандартная квантовая теория является частным вырожденным случаем FQT в формальном пределе p→∞.

б) Даже классическая математика сама по себе является частным вырожденным случаем конечной математики в формальном пределе p→∞.

В письме в редакцию я писал, что эти проблемы являются даже фундаментальнейшими т.к. они меняют стандартную парадигму о том какая физика и какая математика являются самыми фундаментальными. Я думаю, что доказательство а) и б) было дано на уровне принятом в теоретической физике. Но Рецензент считает, что «Предложенное автором доказательство выполнено на научно-популярном уровне, практически ‘на пальцах’ и базируется на физических аналогиях». До этого Рецензент пишет, что «профессиональный подход к этому вопросу должен опираться на строгую математику, например, в стиле известных книг Бурбаки». Недавно я сделал работу (поместил ее в интернете и послал в математический журнал), в которой дано строгое математическое доказательство утверждений а) и б). При этом, одним из необходимых условий для выполнимости б) является выполнимость а). Учитывая это, слова Рецензента и то, что ЭЧАЯ является обзорным журналом, я включил это доказательство в новый вариант статьи.

Теперь о замечаниях Рецензента, которые не учтены.

• О теоремах Гёделя. В ответе на первую рецензию я пытался объяснить почему утверждения Рецензента о теоремах Гёделя неправильные. Теоремы говорят, что проблемы с обоснованием классической математики возникают из-за того, что эта математика использует весь бесконечный натуральный ряд. В конечной математике нет бесконечных множеств и здесь теоремы Гёделя неприменимы. Я писал, что конечная математика начинается с набора чисел (0,1… p-1) но не называл эти числа натуральными, чтобы не возникло впечатления, что конечная математика начинается со всего натурального ряда. Конечно, числа в этом наборе можно назвать натуральными, но с таким же успехом их можно назвать действительными или комплексными. Однако, Рецензент утверждал, что я использую натуральный ряд как исходный строительный материал, и поэтому теоремы Гёделя относятся к конечной математике тоже. Теперь же Рецензент цитирует второй абзац сверху на стр. 9 и говорит: «Разве отсюда не следует, что эти теоремы относятся и к подходу автора, так как он пользуется натуральными числами при построении кольца R_p?» и делает вывод: «Очевидно, автор окончательно запутался с теоремами Гёделя». Т. е. логика Рецензента по-прежнему такая, что раз числа (0,1….p-1) натуральные, то я использую натуральный ряд и поэтому теоремы Гёделя относятся и к конечной математике. Т. е. запутался именно Рецензент т. к. он по-прежнему не понимает, что теоремы Гёделя относятся только к теориям, использующим весь бесконечный натуральный ряд, а в конечной математике не может быть бесконечных множеств по определению.

• О конечной математике в преподавании. Я писал, что основатели квантовой теории не использовали конечную математику и даже сейчас дискретная и конечная математика не входит в стандартное математическое образование на физических факультетах. Рецензент увидел в этой фразе тайный смысл, что якобы, я призываю к реформе математического образования, особенно в России. В ответе на первую рецензию я пытался оправдаться, что никакого тайного смысла в этой фразе нет и что она является просто констатацией фактов. Однако, во второй рецензии Рецензент мои оправдания не принимает и пишет: «И если эта фраза – просто констатация факта, то есть без смысловой нагрузки, то почему автор не удалил ее в ответ на замечание рецензента. Таким образом, мотивация указанная мной, является единственным логическим объяснением данной фразы автора». Конечно, если фраза не несет смысловой нагрузки, то она смысла не имеет. Но она как раз несет очень большую смысловую нагрузку. Как я отмечаю в работе, понятия бесконечно малых/больших, непрерывности и т.д. ввели Ньютон и Лейбниц более 300 лет тому назад. Тогда люди не знали об атомах и элементарных частицах и думали, что любое вещество можно разделить на сколь угодно большое число сколь угодно малых частей. Но теперь мы знаем, что это не так т.к. когда доходим до уровня атомов и элементарных частиц, то дальнейшее деление теряет смысл. В природе нет бесконечно малых и непрерывности. Поэтому указанная фраза объясняет очень странный феномен: хотя уже все знают, что есть элементарные частицы, природа дискретна и в ней нет бесконечно малых, но даже после 90+ лет квантовой теории она основана на непрерывной математике, и до сих пор абсолютное большинство физиков думают, что фундаментальные проблемы квантовой теории надо решать в рамках непрерывной математики.

В подтверждение своей интерпретации Рецензент напоминает мне о том, что я учил в студенческие годы. Он пишет: «Разве линейная алгебра, теория групп, теория представлений групп, методы вычислений, программирование и т.д. не являются основой конечной математики и самой конечной математикой? Все это преподается на физических факультетах. Разве автор не изучал эти предметы в свои студенческие годы? Или он просто забыл это и только поэтому ратует за реформу математического образования?»

Методы вычислений и программирование – это не математика. Поэтому рассмотрим линейную алгебру, теорию групп и представления групп, которые, как я надеюсь, я не забыл. В стандартной линейной алгебре пространства конечномерные, но координаты векторов могут быть любыми действительными или комплексными числами, т. е. они принадлежат бесконечным множествам. Поэтому стандартная линейная алгебра, по определению, не относится к конечной математике. В теории кристаллов рассматриваются конечные группы, но группы, которые изучают в квантовой теории (группа вращений, группа Лоренца, группа Пуанкаре и т.д.) используют бесконечно много действительных чисел, т.е., эти группы являются бесконечными множествами. Представления этих групп рассматриваются в линейных пространствах, в которых координаты векторов также могут быть любыми действительными или комплексными числами. Т. е. эти предметы не входят в конечную математику. В последней линейные пространства могут быть над конечным кольцом или полем. Но этих понятий на физфаках не преподают. Более того, я общался со многими физиками из ИФВЭ, ИТЭФ и ОИЯИ и не заметил, чтобы кто-нибудь из них, кроме М.А. Ольшанецкого (кстати, редакция может спросить его мнение о моей статье) использовал линейные пространства над конечными кольцами или полями.

• О проблеме времени. В ответе на первую рецензию я подробно объяснил, что в классических теориях время считается непрерывным, а в квантовой теории даже нет оператора времени. Но, как отмечено выше, в природе нет непрерывности, непрерывность является идеализацией и никакую величину, которая предполагается непрерывной нельзя измерить с абсолютной точностью. В частности, то, что время строго непрерывно тоже является идеализацией. Поэтому дискретные модели могут давать хорошее экспериментальное описание времени. Никаких возражений Рецензент не привел и поэтому непонятно, понял ли он мои утверждения. Но все равно пишет, что это логическая каша, которую я направляю в ЭЧАЯ. Судя по словам Рецензента, он считает, что раз время – классическое понятие, то, по определению, разрешаются только те подходы, в которых время непрерывно. Никаких физических аргументов в пользу этой догмы Рецензент не приводит, но объявляет неприемлемым то, что в эту догму не укладывается.

• Рецензент пишет, что раз p безразмерно, а я сравниваю с ним физические величины, то это абсурд. Но я подробно объясняю, что в самых фундаментальных физических теориях все величины безразмерны, а размерные параметры (c,ћ,R) нужны только для перехода от более общих теорий к менее общим. Никаких возражений против этого рецензент не привел.

• В заключение о том, что в менталитете Рецензента для меня неприемлемо, независимо от того что он знает или не знает по конкретным проблемам.

Я действительно считаю, что утверждения а) и б) являются фундаментальнейшими и имеют значение не только для физики, но и для обоснования математики. В предыдущем письме в редакцию я пытался объяснить почему мои попытки убедить математиков пока являются, в целом, безуспешными. Рецензент прав в том, что в математическом сообществе «нет общепринятого деления математики на фундаментальную и нефундаментальную». Мой опыт общения с математиками тоже показывает, что обычно кругозор математика ограничивается тем чем он занимается. В частности, «конечные» математики считают, что у них свои проблемы, у «непрерывных» математиков свои и эти проблемы не пересекаются. Когда я пытался убедить «конечных» математиков в том, что конечная математика более фундаментальная чем непрерывная, то они говорили, что самолеты летают, мосты строят и все это основано на дифуравнениях. Мои попытки объяснить им, что эти дифуравнения идут из классической физики и поэтому являются только приближенными, успеха не имели т. к. они не понимают разницу между классической и квантовой физикой. Но в физическом сообществе хорошо известно какие теории являются более, а какие менее фундаментальными. Однако, Рецензент использовал мои объяснения против меня. Он пишет, что раз мои результаты до сих пор не вызвали интереса в научной среде, то незачем их «раскручивать».

Когда Шрёдингер и Гайзенберг создавали квантовую механику, то ее почти никто не понимал (и многие физики не понимают до сих пор). Если бы вопрос о публикации работ Шрёдингера и Гайзенберга зависел от людей с менталитетом Рецензента, то эти работы никогда бы не были опубликованы. В моем случае ситуация очень простая. Я утверждаю, что даю строгое математическое доказательство утверждений а) и б). В частности, в доказательстве даю определение, какая теория является фундаментальной, а какая является ее частным случаем. Наверное, нет сомнений, что утверждения а) и б) меняют стандартную парадигму о том какая физика и какая математика являются фундаментальными. Поэтому научный подход должен быть не такой сколько человек этим интересуется, а такой: правильное или неправильное мое доказательство. Если кто-то может опровергнуть мое доказательство, то я был бы очень благодарен и сразу бы отозвал свою статью. Рецензент считает, что в моих работах по FQT нет никаких физических результатов и что в них конечная математика показала свою беспомощность в физике. Конечно, он имеет право иметь такое личное мнение. Но уж теперь, если он не может опровергнуть а) и б), то высказывать такое мнение официально по меньшей мере неэтично.

Можно говорить о больших успехах стандартной квантовой теории (и я с этим согласен) или о том, что в этой теории есть проблемы (и с этим я тоже согласен), но если утверждения а) и б) верны, то будущая квантовая теория не может быть основана на непрерывной математике. Рецензент пишет, что мое доказательство должно обсуждаться прежде всего с профессиональными математиками, что для физиков оно представляет лишь академический интерес и поэтому представление статьи в ЭЧАЯ является "не по адресу". Конечно, я буду пытаться убедить математиков тоже, но, как я писал, здесь проблема, что у многих из них менталитет такой же как у Рецензента только с инверсией физика↔математика: они видят, что мотивировка идет из физики, которую они не знают, поэтому они не пытаются вникнуть в математическое доказательство а) и б). В то же время, довольно странно, что Рецензент думает, что у всех физиков менталитет такой же как у него, что математические доказательства для них это всего лишь что-то академическое и что им важны только применения.

Надеюсь, что среди физиков есть и такие, которые могут применять какую-то теорию не только веря, что она правильная, но и если они сами в этом убедятся. Исторически, как правило, новые физические теории возникали когда привлекалась математика, которая раньше в физике не применялась. Например, до квантовой теории Гильбертовы пространства не применялись в физике. Наверное, Рецензент не сомневается, что Дирак – великий физик. Приведу его слова, которые, с точки зрения Рецензента, являются полной крамолой: «I learned to distrust all physical concepts as a basis for a theory. Instead one should put one's trust in a mathematical scheme, even if the scheme does not appear at first sight to be connected with physics. One should concentrate on getting an interesting mathematics.» Отмечу также, что ЭЧАЯ публикует много работ, в которых рассматриваются чисто математические проблемы квантовой теории, т. е. предполагается, что есть физики, для которых математика представляет не только академический интерес.

Что мне понравилось в подходе этого рецензента: он не играет в дипломатию, режет правду-матку (как он ее понимает) и не боится, что выяснится, что он чего-то не понимает. Поэтому отвечать на его рецензии легко т.к. ясно, что он утверждает. Например, западные рецензенты обычно намного хитрее. Когда они понимают, что некомпетентны, то стараются так обойти углы, чтобы это не проявилось, поэтому произносят какие-то общие слова и надо думать как ответить, чтобы было ясно, что рецензент без понятия.