Популярно о конечной математике и ее интересных применениях в квантовой теории

В предыдущей главе я описывал свои попытки опубликовать работы по космологической постоянной и по физике основанной на конечной математике. Но была еще история связанная с такой проблемой. Известный эффект квантовой механики заключается в том, что волновая функция свободной частицы расплывается: размер области пространства, где эта функция существенна все время увеличивается со временем и в формальном пределе, когда время стремится к бесконечности, этот размер тоже стремится к бесконечности. Когда квантовая механика создавалась, эту проблему рассматривали Schrödinger, de Broglie, Darwin и другие ученые. Она описана, например, в учебнике Дирака по квантовой механике. Но потом интерес к проблеме, видимо, пропал и, например, в фундаментальном учебнике по квантовой механике Ландау и Лифшица про расплывание нет ни слова.

De Broglie считал, что существование расплывания говорит о некорректности стандартной квантовой механики. Он предлагал описывать свободную частицу не уравнением Шредингера, а при помощи wavelet, который удовлетворяет нелинейному уравнению и не расплывается. Поэтому возникает естественный вопрос, в каких экспериментах расплывание проявляется. Как показал Darwin в 1927 м году, для макроскопических тел время за которое произойдет хоть какое-то существенное расплывание настолько громадное, что для них этим эффектом можно пренебречь. Этот эффект может быть существенным только для элементарных частиц.

Я не уверен, что большинство физиков в этой области вникали в эту проблему и оценивали расплывание в экспериментах с элементарными частицами. Наверное, они думают, что в этих экспериментах время такое маленькое, что расплывание не успевает проявиться. Как бы то ни было, мое наблюдение такое, что большинство квантовых физиков либо не вникали в проблему, либо думают, что проблема несущественная. Поэтому для них эффект расплывания не является причиной для пересмотра стандартной квантовой механики.

Когда я занимался другой задачей, у меня возникла такая простая мысль. Фотоны от звезд могут лететь к нам даже миллиарды лет. Уж для них то расплывание наверняка будет существенным. По моим наблюдениям, большинство людей думают, что фотоны от звезд летят к нам, грубо говоря, как пули, т. е. почти по классическим траекториям. Грубо говоря, если Земля находится в точке А, а звезда в точке Б, то фотоны от этой звезды летят к нам по прямой, соединяющей эти точки. Но если расплывание существенное, то никаких классических траекторий нет и тогда возникает вопрос почему нам кажется, что фотоны летят по классическим траекториям.

В стандартной квантовой механике расплывание считается легко так как связь между координатами и импульсами хорошо известна: волновая функция частицы в координатном представлении получается из волновой функции частицы в импульсном представлении при помощи преобразования Фурье и, соответственно, волновая функция частицы в импульсном представлении получается из волновой функции частицы в координатном представлении при помощи обратного преобразования Фурье (и это вопрос терминологии какое преобразование Фурье считать прямым, а какое обратным).

Возникает вопрос, имеется ли такая связь для фотона, который не является нерелятивистской частицей, а всегда движется со скоростью c (если считать, что фотон – частица с нулевой массой). Этот вопрос обсуждался в литературе, и некоторые авторы (например, Ахиезер и Берестецкий в своем фундаментальном учебнике по квантовой электродинамике) утверждали, что у фотона вообще нет волновой функции в координатном представлении. Соответствующие аргументы хорошо известны и, например, в моих работах они обсуждаются. Но то, что какая-то координатная волновая функция фотона должна существовать, очевидно из простых соображений. Например, если фотон, испущенный Сириусом летит к Земле, то теория должна определять, хотя бы приблизительно, где находится этот фотон в данный момент времени: еще в окрестности Сириуса, на полпути, близко к Земле и т. д. Еще Паули писал, что координата фотона не может быть измерена лучше чем его длина волны. Но у фотонов от звезд длины волн такие маленькие, что измерение координат с такой точностью вполне достаточно.

Координатную волновую функцию фотона рассматривали многие авторы. Их результаты отличаются спиновыми членами и поведением на расстояниях меньше или порядка длины волны. Но движение фотона от звезды к нам имеет смысл рассматривать только в квазиклассическом приближении. В этом приближении вклады спиновых членов и поведение на расстояниях порядка длины волны несущественны. Если эти вклады не рассматривать, то у всех авторов координатная и волновая функция фотона связаны преобразованием Фурье как и в стандартной квантовой механике.