Порядок из хаоса

Наступили решающие 1925—1927 годы — «золотой век» физики[188]. За этот короткий период Гейзенберг, Борн, Иордан, Шредингер и Дирак превратили квантовую механику в непротиворечивую новую теорию. Дуализм волна — частица Эйнштейна и де Бройля эта теория органично включила в схему новой обобщенной формы динамики: квантовой механики. Для нас существенна концептуальная новизна квантовой механики.

Первая и, пожалуй, наиболее существенная особенность этой теории состояла в ее новой, неизвестной в классической физике формулировке, которая понадобилась для того, чтобы ввести в теоретический язык квантование. Атом (и это весьма существенно!) может находиться лишь на дискретных энергетических уровнях, соответствующих различным орбитам электронов. Это, в частности, означает, что энергия (или гамильтониан) не может быть функцией только координат и импульса, как в классической механике (в противном случае, придавая координатам и импульсам значения, близкие к исходным, мы могли бы непрерывно изменять энергию, в то время как эксперимент показывает, что существуют лишь дискретные энергетические уровни).

Итак, от традиционного представления о гамильтониане как о функции координат и импульса, необходимо отказаться и заменить его чем-то новым. Основная идея квантовой механики состоит в том, что гамильтониан так же, как и другие величины классической механики, например координаты q или импульсы р, надлежит рассматривать как операторы. Переход от чисел к операторам — одна из наиболее дерзких идей в современной науке, и нам хотелось бы обсудить ее более подробно.

Сама по себе эта идея очень проста, хотя на первый взгляд кажется несколько абстрактной: оператор (математическую операцию, производимую над некоторым объектом) необходимо отличать от объекта, на который он действует, — от функции. Выберем, например, в качестве математического оператора дифференцирование (взятие производной) d/dx. Действуя нашим оператором на какую-нибудь функцию (например, на х²), мы получим новую функцию (в данном случае 2х). Некоторые функции ведут себя при дифференцировании особым образом. Например, производная от e^3x равна 3e^3x, т. е. отличается от исходной функции только численным множителем (равным в нашем примере 3). Функции, переходящие под действием оператора (с точностью до численного множителя) в себя, называются собственными функциями данного оператора, а численные множители, на которые они умножаются, — собственными значениями оператора.

Каждому оператору соответствует определенный набор собственных значений, который называется спектром. Если собственные значения образуют дискретную последовательность, то спектр дискретный. Например, существует оператор, имеющий собственными значениями все целые неотрицательные числа: 0, 1, 2, ... Спектр может быть и непрерывным, например, состоять из всех чисел, заключенных между 0 и 1.

Основная идея квантовой механики сводится к следующему: всем физическим величинам классической механики в квантовой механике соответствуют «свои» операторы, а численным значениям, принимаемым данной физической величиной, — собственные значения ее квантовомеханического оператора. Подчеркнем одну важную особенность квантовой механики: различие, проводимое в ней между понятием физической величины (представимой оператором) и принимаемыми этой величиной численными значениями (представимыми собственными значениями оператора). В частности, энергии в квантовой механике соответствует оператор гамильтониан, а энергетическим уровням (наблюдаемым значениям энергии) — собственные значения спектра гамильтониана.

Введение операторов распахнуло перед физиками ворота в неожиданно богатый и разнообразный микроскопический мир, и нам остается лишь сожалеть, что мы не можем уделить больше места такой увлекательной области науки, как квантовая механика, в которой творческое воображение и экспериментальное наблюдение столь успешно сочетаются друг с другом. Подчеркнем лишь, что микроскопический мир подчиняется законам, имеющим качественно новую структуру. Тем самым раз и навсегда кладется конец всем надеждам на создание единой концептуальной схемы, общей для всех уровней описания.

Новый математический язык, изобретаемый для преодоления вполне определенных трудностей, может способствовать открытию новых областей исследования, полных неожиданностей, превосходящих самые смелые ожидания своих создателей. Так было с дифференциальным исчислением, лежащим в основе классической динамики. Так было и с теорией операторов. Квантовая теория, созданная в ответ на насущную потребность объяснения новых, неожиданных экспериментальных открытий, — вскоре превратилась в почти необозримую terra incognita — бескрайний простор для исследований.