Порядок из хаоса

Ныне, через более чем пятьдесят лет после введения операторов в квантовую механику, их значение по-прежнему остается предметом горячих дискуссий. Исторически введение операторов связано с существованием энергетических уровней, но теперь операторы применяются даже в классической физике. Их значение намного превзошло ожидания основателей квантовой механики. Операторы ныне вступают в игру всякий раз, когда по той или иной причине приходится отказываться от понятия динамической траектории, а вместе с ним и от детерминистического описания траектории.

4. Соотношения неопределенности Гейзенберга

Мы видели, что в квантовой механике каждой физической величине соответствует оператор, который действует на функции. Особенно важную роль играют собственные функции и собственные значения интересующего нас оператора. Собственные значения соответствуют допустимым численным значениям величины. Рассмотрим теперь более подробно квантовомеханические операторы, связанные с координатами q и импульсами р (как показано в гл. 2, эти величины — канонические переменные).

В классической механике координаты и импульсы независимы в том смысле, что мы можем приписывать координате любое численное значение совершенно независимо от того, какое значение приписано нами импульсу. Но существование постоянной Планка h приводит к уменьшению числа независимых переменных. Об этом можно было бы догадаться, исходя из соотношения Эйнштейна—де Бройля l=h/p, связывающего длину волны с импульсом: постоянная Планка есть отношение длины волны частицы (тесно связанной с понятием координаты) к ее импульсу. Следовательно, координаты и импульс квантовомеханической частицы уже более не являются независимыми переменными, как в классической механике. Операторы, соответствующие координатам и импульсам, как объясняется во всех учебниках квантовой механики, могут быть представлены либо только в координатах, либо только в импульсах.

Важно подчеркнуть, что во всех этих случаях в представление оператора входят только однотипные величины (либо только координаты, либо только импульсы), но не координаты и импульсы одновременно. В этом смысле можно утверждать, что в квантовой механике число независимых переменных вдвое меньше, чем в классической.

Из соотношения между операторами в квантовой механике вытекает одно фундаментальное свойство: два оператора — q_оп и р_оп — не коммутируют, т. е., действуя на одну и ту же функцию операторами q_опр_оп и р_опq_оп, мы получим различные функции. Некоммутационность операторов координат и импульсов приводит к весьма важным следствиям, так как только коммутирующие операторы допускают общие собственные функции. Таким образом, невозможно указать функцию, которая была бы одновременно собственной функцией координаты и импульса. Из определения координаты и импульса в квантовой механике следует, что не существует состояний, в которых эти две физические величины (т. е. координата q и импульс p) имели бы вполне определенное значение. Эту ситуацию, неизвестную в классической механике, выражают знаменитые соотношения неопределенности Гейзенберга. Мы можем измерять координату и импульс, но неопределенности в их значениях Dq и Dp связаны между собой неравенством Гейзенберга DqDp³h. Если неопределенность Dq в положении частицы сделать сколь угодной малой, то неопределенность Dp в ее импульсе обратится в бесконечность, и наоборот.

О соотношениях неопределенности Гейзенберга написано много, и мы сознательно переупрощаем их изложение. Нам хотелось лишь, чтобы читатель мог составить хотя бы общее представление о новых проблемах, возникших в связи с использованием операторов. Соотношение неопределенности Гейзенберга с необходимостью приводит к пересмотру понятия причинности. Мы можем определить координату с абсолютной точностью, но в тот момент, когда это происходит, импульс принимает совершенно произвольное значение, положительное или отрицательное. Это означает, что объект, положение которого нам удалось измерить абсолютно точно, тотчас же перемещается сколь угодно далеко. Локализация утрачивает смысл: понятия, составляющие самую основу классической механики, при переходе к квантовой механике претерпевают глубокие изменения.