Предположения и опровержения. Рост научного знания

Т. Да, так. И при построении языка с искусственными правилами, который можно назвать «формализованным языком», мы должны учесть тот факт, что в повседневном языке встречаются парадоксы (которых мы хотим избежать). (513:)

С. И для своего формализованного языка, я полагаю, ты постановил бы, что всякая самореферентность должна быть исключена?

Т. Нет, парадоксов можно избежать, не прибегая к таким драконовским мерам.

С. Ты называешь их драконовскими?

Т. Они являются драконовскими потому, что исключают некоторые весьма интересные случаи самореферентности, в частности, метод построения самореферентных высказываний Геделя — метод, имеющий чрезвычайно важное значение для моей собственной области интересов, для теории чисел. Они являются драконовскими, кроме того, потому, что, как мы узнали от Тарского, в любом непротиворечивом языке — назовем его «L» — предикаты «истинно в L» и «ложно в L» не могут встречаться (в отличие от предикатов «осмысленно в L» и «бессмысленно в L», которые могут в него входить). А без таких предикатов парадоксы типа «Эпименида» или парадокса гетерологичности Греллинга сформулировать нельзя. Этого оказывается достаточно для построения формализованных языков, которые свободны от парадоксов подобного рода.

С. Кто все эти математики? Федор никогда не упоминал их имен.

Т. Варвары, Сократ. Однако очень способные. Геделевский «метод арифметизации», как его называют, особенно интересен в контексте нашей беседы.

С. Это еще одна самореферентность, причем совершенно обычная. Я стал очень чувствителен к таким вещам.

Т. Можно сказать, что метод Геделя переводит некоторые неарифметические высказывания в арифметические, так сказать, арифметически кодирует их. И в число этих закодированных высказываний входит и то, которое ты шутливо назвал моей теоремой. Говоря несколько более точно, высказывание, которое можно перевести в арифметический код Геделя, является самореферентным: «Это выражение является правильно построенной формулой». Здесь выражение «правильно построенная формула» эквивалентно, конечно, слову «осмыслен-

514

на». Помнишь, ты говорил, что я слишком уверен в том, что мою теорему нельзя опровергнуть? А я просто имел в виду, что при переводе в геделевский код моя теорема становится теоремой арифметики. Она доказуема, а ее отрицание опровержимо. Поэтому если бы теперь кто-то с помощью корректного рассуждения (возможно, похожего на твое собственное доказательство) опроверг мою теорему — например, посредством приведения к абсурду предположения о том, что отрицание моей теоремы ложно, — то это рассуждение можно было бы направить против соответствующей арифметической теоремы. А поскольку это сразу же дало бы нам метод доказательства «0 = 1», то, как мне представляется, у меня хорошие основания считать мою теорему неопровержимой.

С. Не мог бы ты рассказать о методе кодирования Геделя, не входя в технические подробности?

Т. В этом нет необходимости, поскольку это уже было сделано раньше: я имею в виду — не до нашей беседы (около 400 г. до н.э.), а до того, как эта беседа была придумана спустя 2350 лет.

С. Я потрясен, Теэтет, твоей последней самореферентностью. Ты говоришь как актер, разыгрывающий какую-то пьесу. Это трюк, который может показаться остроумным сочинителям пьес, но, боюсь, не их жертвам. Однако твоя нелепая, даже бессмысленная хронология еще хуже, чем любая самореферентность. Я вынужден прекратить играть в этой пьесе, Теэтет.

Т. Подожди, Сократ, кого заботит хронология? Идеи вне-временны.

С. Остерегайся метафизики, Теэтет! (515:)

Глава 15. Что такое диалектика?*

1. Диалектика, если ее разъяснить

Нельзя представить себе ничего настолько абсурдного или неправдоподобного, чтобы не быть доказанным тем или иным философом,

Декарт

Приведенный нами эпиграф можно обобщить. Он относится не только к философам и философии, но и вообще ко всей области человеческого мышления и деятельности, к науке, технологии, инженерному делу и политике. В самом деле, общая тенденция к испытанию, подразумеваемая в нашем эпиграфе, просматривается и в более широкой области — в огромном разнообразии форм и явлений, созданных жизнью на нашей планете.

Поэтому если мы хотим разъяснить, почему человеческое мышление стремится испробовать все мыслимые решения всех проблем, с какими бы оно ни сталкивалось, то можем сослаться на одну в высшей степени общую закономерность. Метод, с

Доклад, прочитанный на философском семинаре Кентерберийского университетского колледжа в Крайстчерче (Новая Зеландия) в 1937 г. Впервые опубликован в журнале «Mind», N.S. № 49.

* Глава 15 публикуется в переводе Г. А. Новичковой. (516:)